Non esistenza del limite $lim_(x \to 0_+) sin(1/x)$

[p.v.141]

Buongiorno

Dal libro analisi matematica 1 di Salsa-Pagani viene provata la non esistenza del seguente limite

$lim_(x \to 0_+) sin(1/x)$

Procede in questa maniera, prendo lettera per lettera di quello che è riportato:
si osserva che $f(x)$ è compresa nell'intervallo chiuso e limitato $[-1,1]$, cosicché se esiste il limite $l$ dovrebbe appartenere a tale intervallo.
Ma risulta che

$sin(1/x)=1$ con $x_n=1/(pi/2+2npi)$

e

$sin(1/x)=-1$ con $y_n=1/((3pi)/2+2npi)$

dove $n in mathbb{N}$

Gli insiemi ${x_n}, {y_n}$ hanno lo zero come punto di accumulazione, quindi in ogni intorno destro delle zero la funzione assume infinite volte i valori $-1$ e $1$.
E' chiaro perciò che non può esistere alcun intorno destro $U_+$ di zero, per cui se $xne0 in U_+$ $f(x)$ resti confinata in un prefissato intervallo $(l-epsilon, l+epsilon)$, qualunque sia $l in [-1,1]$ se appena si sceglie $0

La parte che non riesco a sviluppare è quella scritta in corsivo, in quando, per provare la non esistenza di un limite, ho sempre utilizzato il teorema ponte, cioè, consideravo due successioni che entrambe tendessero a $x_0$ e valutavo il comportamento di $f$ su i punti descritti dalle successioni, e facevo vedere che la funzione tendeva a due limiti distinti.

Ora però la verifica è diversa, cioè, devo applicare la definizione, la quale ricordo

$lim_(x to x_(0_+)) f(x)=l <=> forall epsilon >0 exists delta>0 : x_0

Dati

$f(x)=sin(1/x), l in [-1,+1]$, e $x_(0_+)=0_+$.

L'idea è esibire un $epsilon$ che non verifichi la definizione di limite, quindi, in tal caso non esiste il limite.
Visto che dobbiamo studiare il comportamento in un intorno destro dello zero, prendo $0
Considero le seguenti maggiorazioni

$|sin(1/x)-l|=|sin(1/x)+1-l-1|=|(sin(1/x)+1)+(-(l+1))|$

dunque

$|(sin(1/x)+1)+(-(l+1))|<=|(sin(1/x)+1)|+|l+1|$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad<=1/x+1+|l+1|$

$qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad<=1/x+1+2$

$qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=1/x+3$

$qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=(3x+1)/x<4/x<=4$

Va bene fin qui ?

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Risposte

Mephlip

23 gen 2023, 11:15

"p.v.14":
Visto che dobbiamo studiare il comportamento in un intorno destro dello zero, prendo $0
Sì, basta che supponi $\delta<1$. Però leggi sotto.

"p.v.14":$\frac{4}{x}\le 4$

Questo è falso: da $01$ e quindi $4/x>4$.

La negazione della definizione di limite però è: "Esiste $\epsilon>0$ tale che per ogni $\delta>0$ esiste $x \in \text{dom}(f) \cap ]x_0-\delta,x_0+\delta[ \setminus \{x_0\}$, $|x-x_0|<\delta$ e $|f(x)-l|\ge \epsilon$". Quindi devi mostrare che esiste un $\epsilon$ per cui in ogni intorno di $x_0$ si abbia $|f(x)-l|\ge \epsilon$.

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p.v.141

23 gen 2023, 11:22

"Mephlip":[quote="p.v.14"] Questo è falso: da $01$ e quindi $4/x>4$

[/quote]
Esatto.

"Mephlip":[quote="p.v.14"]
Visto che dobbiamo studiare il comportamento in un intorno destro dello zero, prendo $ 0 (è una scelta sensata?)

Sì, basta che supponi $ \delta<1 $[/quote]

Allora devo rivedere le diseguaglianze, in particolare, senza riscrivere tutto, osservo che

$ |(sin(1/x)+1)+(-(l+1))|<=|(sin(1/x)+1)|+|l+1| <=2+|l+1|<=2+2=4$

Cosi mi sembra che non ci siano errori ?

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Mephlip

23 gen 2023, 11:31

Le disuguaglianze sono corrette, immagino che tu abbia usato che $|\sin t|\le 1$ per ogni $t\in\mathbb{R}$, la disuguaglianza triangolare e che $|l+1|\le |l|+1\le 2$ in quanto $l\in[-1,1]$. Però, non mi è chiaro dove vuoi arrivare con queste disuguaglianze . Tu vuoi far vedere, seguendo l'impronta del Pagani-Salsa, che $|\sin(1/x)-l|\ge \epsilon$ in ogni intorno destro di $x_0$ con $0<\epsilon<1$; quindi ti servono disuguaglianze nell'altro verso.

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p.v.141

23 gen 2023, 12:55

"Mephlip":Le disuguaglianze sono corrette, immagino che tu abbia usato che $|\sin t|\le 1$ per ogni $t\in\mathbb{R}$ e che $|l+1|\le |l|+1\le 2$ in quanto $l\in[-1,1]$. Però, non mi è chiaro dove vuoi arrivare con queste disuguaglianze . Tu vuoi far vedere, seguendo l'impronta del Pagani-Salsa, che di $|\sin(1/x)-l|\ge \epsilon$ in ogni intorno destro di $x_0$ con $0<\epsilon<1$; quindi ti servono disuguaglianze nell'altro verso.

Esatto.

Allora devo verificare che esiste un $epsilon>0$, per ogni $delta>0$, per cui esiste $x in dom(f)$ dove $0<|x-x_0| Quindi devo considerare la seguente relazione

$|sin(1/x)-l|ge epsilon to sin(1/x)lel-epsilon \vee sin(1/x)ge l+epsilon $

?

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p.v.141

23 gen 2023, 14:35

La negazione della definizione di limite è

$exists epsilon>0$ per ogni $delta>0$, preso $x in dom(f) $ tale che $0

Da questa

$ |sin(1/x)-l|ge epsilon to sin(1/x)lel-epsilon \vee sin(1/x)ge l+epsilon $

ricavo

$ 1/(arcsin(l-epsilon)) le x le 1/(arcsin(l+epsilon))$

Ho fatto questo ragionamento, l'intorno deve essere destro allora

$1/(arcsin(l+epsilon))>0 <=> (arcsin(l+epsilon))>0 <=> 0

$1/(arcsin(l-epsilon))>0 <=> (arcsin(l-epsilon))>0 <=> 0

inoltre, mettendo tutto a sistema, e considerando le condizioni di esistenza della funzione $arcsin$ ottengo rispettivamente due sistemi

Sistema A)

\begin{cases}|l+\epsilon|\le 1, & \mbox{C.E. }n\mbox{ funzione arcsin} \\ l+\epsilon<1, \\ l+\epsilon>0
\end{cases}

Sistema B)

\begin{cases}|l-\epsilon|\le 1, & \mbox{C.E. }n\mbox{ funzione arcsin} \\ l-\epsilon<1, \\ l-\epsilon>0
\end{cases}

Ora, il sistema A) non ha soluzioni, in quanto l'ho risolto e mi trovo che il sistema è impossibile.

Dunque, osservando che devo avere

$1/(arcsin(l-epsilon))>0 <=> (arcsin(l-epsilon))>0 <=> 0 quindi $0
Dunque, per $0
Non sono sicuro

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gugo82

23 gen 2023, 17:04

Sembra molto più semplice di quanto la fai.

Diciamo che $l in [-1,1]$ è il valore del limite e scegliamo (cosa che si può fare, per via del quantificatore $EE$) il valore $varepsilon > 0$ in modo che risulti:

[*:39w62hjx] $\{ (-1+varepsilon < l - varepsilon), (l + varepsilon < 1 - varepsilon) :} <=> \{ (varepsilon < (l+1)/2), (varepsilon < (1 - l)/2):} <=> varepsilon < min \{ (l+1)/2 , (1-l)/2\}$ se $-1
(in particolare si può prendere $varepsilon = 1/3 min \{ (l+1)/2 , (1-l)/2\} = min \{ (l+1)/6 , (1-l)/6\}$)

[/*:m:39w62hjx]
[*:39w62hjx] $varepsilon = 1/3$ se $l=+-1$;[/*:m:39w62hjx][/list:u:39w62hjx]

in tal modo, gli intorni $I = ]-1-varepsilon, -1+varepsilon[$, $U = ]l-varepsilon, l+varepsilon[$, $J = ]1-varepsilon, 1 + varepsilon[$ sono disgiunti, i.e. risulta:

$U nn I nn J = \emptyset$,

ed, anzi, essi sono tali che almeno una delle intersezioni $U nn I$ ed $U nn J$ è vuota.
Dato che $f(x_n) = 1 \in J$ ed $f(y_n) = -1 in I$ per ogni $n in NN$, è chiaro che esistono infiniti punti $x$ intorno a $0$ e distinti da $0$ tali che $f(x) notin U$.

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p.v.141

23 gen 2023, 17:28

gugo82 non avevo visto che avevi postato.

Comunque, prima che mi metto a scervellare di nuovo, ho la soddisfazione di aver fatto bene o no ?

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gugo82

24 gen 2023, 02:08

In realtà, non capisco cosa tu abbia scritto...

Una cosa che mi mette pensiero è che se richiedi che entrambi quegli arcoseni siano positivi, le disuguaglianze $1/(arcsin("schifezza")) < x < 1/(arcsin("altra schifezza"))$ non individuano un intorno di $0$.

Poi, però, c'è una cosa un po' più riposta.
Quando scrivi:

$EE varepsilon > 0:\ AA delta > 0,\ EE x_delta in ]0, delta[:\ ...$

il $delta$ è una variabile "libera" (perché la proprietà "$EE x_delta in ]0, delta[:\ ...$" deve essere soddisfatta per ogni $delta > 0$) e non puoi darle un valore "fisso" dipendente da $varepsilon$ (valore che è "fisso" proprio perché dipendente da $varepsilon$ che è "fissata" -una volta per tutte- dal quantificatore $EE$ più esterno).

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p.v.141

24 gen 2023, 08:22

Grazie per le risposte

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[Mephlip]

"p.v.14":
Visto che dobbiamo studiare il comportamento in un intorno destro dello zero, prendo $0
Sì, basta che supponi $\delta<1$. Però leggi sotto.

"p.v.14":$\frac{4}{x}\le 4$

Questo è falso: da $01$ e quindi $4/x>4$.

La negazione della definizione di limite però è: "Esiste $\epsilon>0$ tale che per ogni $\delta>0$ esiste $x \in \text{dom}(f) \cap ]x_0-\delta,x_0+\delta[ \setminus \{x_0\}$, $|x-x_0|<\delta$ e $|f(x)-l|\ge \epsilon$". Quindi devi mostrare che esiste un $\epsilon$ per cui in ogni intorno di $x_0$ si abbia $|f(x)-l|\ge \epsilon$.

[p.v.141]

"Mephlip":[quote="p.v.14"] Questo è falso: da $01$ e quindi $4/x>4$

[/quote]
Esatto.

"Mephlip":[quote="p.v.14"]
Visto che dobbiamo studiare il comportamento in un intorno destro dello zero, prendo $ 0 (è una scelta sensata?)

Sì, basta che supponi $ \delta<1 $[/quote]

Allora devo rivedere le diseguaglianze, in particolare, senza riscrivere tutto, osservo che

$ |(sin(1/x)+1)+(-(l+1))|<=|(sin(1/x)+1)|+|l+1| <=2+|l+1|<=2+2=4$

Cosi mi sembra che non ci siano errori ?

[Mephlip]

Le disuguaglianze sono corrette, immagino che tu abbia usato che $|\sin t|\le 1$ per ogni $t\in\mathbb{R}$, la disuguaglianza triangolare e che $|l+1|\le |l|+1\le 2$ in quanto $l\in[-1,1]$. Però, non mi è chiaro dove vuoi arrivare con queste disuguaglianze . Tu vuoi far vedere, seguendo l'impronta del Pagani-Salsa, che $|\sin(1/x)-l|\ge \epsilon$ in ogni intorno destro di $x_0$ con $0<\epsilon<1$; quindi ti servono disuguaglianze nell'altro verso.

[p.v.141]

"Mephlip":Le disuguaglianze sono corrette, immagino che tu abbia usato che $|\sin t|\le 1$ per ogni $t\in\mathbb{R}$ e che $|l+1|\le |l|+1\le 2$ in quanto $l\in[-1,1]$. Però, non mi è chiaro dove vuoi arrivare con queste disuguaglianze . Tu vuoi far vedere, seguendo l'impronta del Pagani-Salsa, che di $|\sin(1/x)-l|\ge \epsilon$ in ogni intorno destro di $x_0$ con $0<\epsilon<1$; quindi ti servono disuguaglianze nell'altro verso.

Esatto.

Allora devo verificare che esiste un $epsilon>0$, per ogni $delta>0$, per cui esiste $x in dom(f)$ dove $0<|x-x_0| Quindi devo considerare la seguente relazione

$|sin(1/x)-l|ge epsilon to sin(1/x)lel-epsilon \vee sin(1/x)ge l+epsilon $

?

[p.v.141]

La negazione della definizione di limite è

$exists epsilon>0$ per ogni $delta>0$, preso $x in dom(f) $ tale che $0

Da questa

$ |sin(1/x)-l|ge epsilon to sin(1/x)lel-epsilon \vee sin(1/x)ge l+epsilon $

ricavo

$ 1/(arcsin(l-epsilon)) le x le 1/(arcsin(l+epsilon))$

Ho fatto questo ragionamento, l'intorno deve essere destro allora

$1/(arcsin(l+epsilon))>0 <=> (arcsin(l+epsilon))>0 <=> 0

$1/(arcsin(l-epsilon))>0 <=> (arcsin(l-epsilon))>0 <=> 0

inoltre, mettendo tutto a sistema, e considerando le condizioni di esistenza della funzione $arcsin$ ottengo rispettivamente due sistemi

Sistema A)

\begin{cases}|l+\epsilon|\le 1, & \mbox{C.E. }n\mbox{ funzione arcsin} \\ l+\epsilon<1, \\ l+\epsilon>0
\end{cases}

Sistema B)

\begin{cases}|l-\epsilon|\le 1, & \mbox{C.E. }n\mbox{ funzione arcsin} \\ l-\epsilon<1, \\ l-\epsilon>0
\end{cases}

Ora, il sistema A) non ha soluzioni, in quanto l'ho risolto e mi trovo che il sistema è impossibile.

Dunque, osservando che devo avere

$1/(arcsin(l-epsilon))>0 <=> (arcsin(l-epsilon))>0 <=> 0 quindi $0
Dunque, per $0
Non sono sicuro

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gugo82

23 gen 2023, 17:04

Sembra molto più semplice di quanto la fai.

Diciamo che $l in [-1,1]$ è il valore del limite e scegliamo (cosa che si può fare, per via del quantificatore $EE$) il valore $varepsilon > 0$ in modo che risulti:

[*:39w62hjx] $\{ (-1+varepsilon < l - varepsilon), (l + varepsilon < 1 - varepsilon) :} <=> \{ (varepsilon < (l+1)/2), (varepsilon < (1 - l)/2):} <=> varepsilon < min \{ (l+1)/2 , (1-l)/2\}$ se $-1
(in particolare si può prendere $varepsilon = 1/3 min \{ (l+1)/2 , (1-l)/2\} = min \{ (l+1)/6 , (1-l)/6\}$)

[/*:m:39w62hjx]
[*:39w62hjx] $varepsilon = 1/3$ se $l=+-1$;[/*:m:39w62hjx][/list:u:39w62hjx]

in tal modo, gli intorni $I = ]-1-varepsilon, -1+varepsilon[$, $U = ]l-varepsilon, l+varepsilon[$, $J = ]1-varepsilon, 1 + varepsilon[$ sono disgiunti, i.e. risulta:

$U nn I nn J = \emptyset$,

ed, anzi, essi sono tali che almeno una delle intersezioni $U nn I$ ed $U nn J$ è vuota.
Dato che $f(x_n) = 1 \in J$ ed $f(y_n) = -1 in I$ per ogni $n in NN$, è chiaro che esistono infiniti punti $x$ intorno a $0$ e distinti da $0$ tali che $f(x) notin U$.

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p.v.141

23 gen 2023, 17:28

gugo82 non avevo visto che avevi postato.

Comunque, prima che mi metto a scervellare di nuovo, ho la soddisfazione di aver fatto bene o no ?

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gugo82

24 gen 2023, 02:08

In realtà, non capisco cosa tu abbia scritto...

Una cosa che mi mette pensiero è che se richiedi che entrambi quegli arcoseni siano positivi, le disuguaglianze $1/(arcsin("schifezza")) < x < 1/(arcsin("altra schifezza"))$ non individuano un intorno di $0$.

Poi, però, c'è una cosa un po' più riposta.
Quando scrivi:

$EE varepsilon > 0:\ AA delta > 0,\ EE x_delta in ]0, delta[:\ ...$

il $delta$ è una variabile "libera" (perché la proprietà "$EE x_delta in ]0, delta[:\ ...$" deve essere soddisfatta per ogni $delta > 0$) e non puoi darle un valore "fisso" dipendente da $varepsilon$ (valore che è "fisso" proprio perché dipendente da $varepsilon$ che è "fissata" -una volta per tutte- dal quantificatore $EE$ più esterno).

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p.v.141

24 gen 2023, 08:22

Grazie per le risposte

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[gugo82]

Sembra molto più semplice di quanto la fai.

Diciamo che $l in [-1,1]$ è il valore del limite e scegliamo (cosa che si può fare, per via del quantificatore $EE$) il valore $varepsilon > 0$ in modo che risulti:

[*:39w62hjx] $\{ (-1+varepsilon < l - varepsilon), (l + varepsilon < 1 - varepsilon) :} <=> \{ (varepsilon < (l+1)/2), (varepsilon < (1 - l)/2):} <=> varepsilon < min \{ (l+1)/2 , (1-l)/2\}$ se $-1
(in particolare si può prendere $varepsilon = 1/3 min \{ (l+1)/2 , (1-l)/2\} = min \{ (l+1)/6 , (1-l)/6\}$)

[/*:m:39w62hjx]
[*:39w62hjx] $varepsilon = 1/3$ se $l=+-1$;[/*:m:39w62hjx][/list:u:39w62hjx]

in tal modo, gli intorni $I = ]-1-varepsilon, -1+varepsilon[$, $U = ]l-varepsilon, l+varepsilon[$, $J = ]1-varepsilon, 1 + varepsilon[$ sono disgiunti, i.e. risulta:

$U nn I nn J = \emptyset$,

ed, anzi, essi sono tali che almeno una delle intersezioni $U nn I$ ed $U nn J$ è vuota.
Dato che $f(x_n) = 1 \in J$ ed $f(y_n) = -1 in I$ per ogni $n in NN$, è chiaro che esistono infiniti punti $x$ intorno a $0$ e distinti da $0$ tali che $f(x) notin U$.

[p.v.141]

gugo82 non avevo visto che avevi postato.

Comunque, prima che mi metto a scervellare di nuovo, ho la soddisfazione di aver fatto bene o no ?

[gugo82]

In realtà, non capisco cosa tu abbia scritto...

Una cosa che mi mette pensiero è che se richiedi che entrambi quegli arcoseni siano positivi, le disuguaglianze $1/(arcsin("schifezza")) < x < 1/(arcsin("altra schifezza"))$ non individuano un intorno di $0$.

Poi, però, c'è una cosa un po' più riposta.
Quando scrivi:

$EE varepsilon > 0:\ AA delta > 0,\ EE x_delta in ]0, delta[:\ ...$

il $delta$ è una variabile "libera" (perché la proprietà "$EE x_delta in ]0, delta[:\ ...$" deve essere soddisfatta per ogni $delta > 0$) e non puoi darle un valore "fisso" dipendente da $varepsilon$ (valore che è "fisso" proprio perché dipendente da $varepsilon$ che è "fissata" -una volta per tutte- dal quantificatore $EE$ più esterno).

[p.v.141]

Grazie per le risposte