Non esistenza del limite in due variabili

[suppatruppa]

Rimango con un dubbio per questo esercizio

$lim_((x,y)->(1,1)) (cos(xy)(y-1)^3)/((x-1)^2+|y-1|^3$

Mi piacerebbe chiedervi una cosa sulla seconda parte dell'esercizio dove chiede di risolvere il limite (o dire se non esiste).

Ho pensato di svolgere la sostuzione:
u=x-1
v=y-1

ottenendo così:
$lim_((u,v)->(0,0)) (cos(u+1)(v+1)v^3)/((u)^2+|v|^3$
restringendo a (0,v) ottengo
$lim_((u,v)->(0,0)) (cos(1)*v^3)/|v|^3$ e trovandomi con valore assoluto avrei $(v^3)/|v|^3$ cioè due soluzioni -cos(1) e cos(1)
IMPOSSIBILE

E' giusto come ragionamento?
Ringrazio moltissimo

[anto_zoolander]

$cos(x,y)$?

[suppatruppa]

"anto_zoolander":$cos(x,y)$?

Oops! Corretto

[Lebesgue]

Non mi trovo su come hai sostituito(forse è il caso di aggiustare le parentesi a quel coseno, inoltre conviene mettere i termini moltiplicati per il coseno prima del suddetto, per non creare ambiguità)
Ponendo $v=y-1\rightarrow y=v+1 \ ; \ u=x-1\rightarrow x=u+1$ otteniamo $\lim_{(u,v)\rightarrow (0,0)} \frac{v^3\cos[(u+1)(v+1)]}{u^2+|v|^3}$ cioè
$\lim_{(u,v)\rightarrow (0,0)} \frac{v^3 \cos(uv+u+v+1)}{u^2+|v|^3}$
Restringendoci alla retta $(t,t)$ abbiamo $\lim_{t\rightarrow 0} \frac{t^3\cos(t^2+2t+1)}{t^2+|t|^3}=\frac{t\cos(t^2+2t+1)}{1+|t|}$ e per t->0 tale limite vale 0.
Mentre se consideriamo la retta $(0,t)$ abbiamo: $\lim_{t\rightarrow 0} \frac{t^3\cos(t+1)}{|t|^3}=\pm\cos1$ (dove quel $\pm$ dipende dal fatto se $t->0^+$ oppure $t->0^-$ il che basta per concludere che il limite non esiste dato che i limiti per 0+ e 0- sono differenti) dunque tale limite non esiste.

[dissonance]

Mi sembrano corretti entrambi gli svolgimenti.

[suppatruppa]

COme sempre grazie mille per il gentile aiuto