Non esiste l'ordine di infinitesimo...
Salve ragazzi il mio prof ha svolto questo esercizio, trovare l'ordine di infinitesimo della seguente funzione:
\(\displaystyle f(x)=xlnx + sin^2x \)
In pratica nello svolgimento non ha per nulla considerato il seno, mi sapreste dire perchè? perchè tende a zero?
Ed infine come si può fare per dire che è impossibile che risulti il limite di:
\(\displaystyle \frac{xlnx}{x^\alpha} \) uguale a un qualsiasi K diverso da zero per x che tende a zero?
Ma lo svilluppo di taylor di \(\displaystyle lnx \) è possibile trovarlo in 0? quindi come si dovrebbe fare in questi casi? Grazie mille
\(\displaystyle f(x)=xlnx + sin^2x \)
In pratica nello svolgimento non ha per nulla considerato il seno, mi sapreste dire perchè? perchè tende a zero?
Ed infine come si può fare per dire che è impossibile che risulti il limite di:
\(\displaystyle \frac{xlnx}{x^\alpha} \) uguale a un qualsiasi K diverso da zero per x che tende a zero?
Ma lo svilluppo di taylor di \(\displaystyle lnx \) è possibile trovarlo in 0? quindi come si dovrebbe fare in questi casi? Grazie mille
Risposte
Perché $sin^2(x)$ è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a $x ln(x)$. Infatti ha ordine di infinitesimo $2$ rispetto all'infinitesimo campione $x$.
Invece $x ln(x)$ è un infinitesimo "più blando", quindi è quello che determina l'ordine.
Invece $x ln(x)$ è un infinitesimo "più blando", quindi è quello che determina l'ordine.
Ho capito perchè il seno ha ordine di infinitesimo 2, ma come si fa a dire che è un infinitesimo di ordine maggiore rispetto a xlnx? Il fatto che sia maggiore perchè mi consente di ometterlo? non dovrei trovare allora lo svilippo di taylor di lnx? ma in zero come si fa? grazie ancora!
scusami seneca, che significa blando? e il fatto che sia blando perchè determina l'ordine? 
"davidedesantis":
ma come si fa a dire che è un infinitesimo di ordine maggiore rispetto a xlnx?
Basta provare che $(sin^2 x)/(x ln(x))$ è infinitesimo per $x -> 0^+$.
Il fatto che sia maggiore perchè mi consente di ometterlo?
Perché in una somma di infinitesimi si possono trascurare quelli di ordine superiore... Basta raccogliere l'infinitesimo di ordine minore per rendersene conto che gli infinitesimi di ordine superiore sono ininfluenti sull'ordine di infinitesimo della somma.
non dovrei trovare allora lo svilippo di taylor di lnx? ma in zero come si fa? grazie ancora!
Non si può, chiaramente. Ma a cosa ti serve?
"davidedesantis":
scusami seneca, che significa blando? e il fatto che sia blando perchè determina l'ordine?
"Blando" nel senso che è un infinitesimo di ordine minore rispetto a $sin^2(x)$ per $x -> 0^+$.
Però l'ordine di $x ln(x)$ in $0$ non è reale; infatti puoi dimostrare che (ti invito a farlo) $x ln(x)$ ha ordine $> 1$ ma comunque $ < 1 + epsilon$ , $AA epsilon > 0$.
grazie mille seneca! 
lo sviluppo in zero del lnx era solo un mio dubbio...
lo sviluppo in zero del lnx era solo un mio dubbio...
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