Non capisco perchè questo limite venga in questo modo
Salve a tutti ragazzi 
sono nuovo e sono alle prese con analisi 1, mi è capitato di calcolare un limite ed ho ottenuto un risultato, poi l'ho controllato con un software di matematica e a quanto pare il risultato è un altro, ma non sto riuscendo a capire perchè.
Prima ho calcolato questo limite
$\lim_{x \to \(pi/6+)}log(2sin(x)-1)/(2sin(x)-1)$
E come risultato mi viene $ -infty $ perchè al numeratore l'argomento del logaritmo diventa 0 (il seno a $ pi/6 $ fa $ 1/2 $), il logaritmo di 0 fa$ -infty $, al denominatore mi viene 0+ quindi $ (-infty)/(0+) $ fa $ -infty $. DI conseguenza lo stesso limite però tendente a $ (pi/6-) $ fa $ infty $, perchè il logaritmo fa sempre 0, quindi $ -infty $, al denominatore ci sarà 0-, quindi $ (-infty)/(0-) $ fa $ infty $, e fin qui ci siamo.
Il problema viene quando devo calcolare
$\lim_{x \to \pi5/6+}log(2sin(x)-1)/(2sin(x)-1)$
Il seno a $ 5/6pi $ fa sempre $ 1/2 $ quindi viene da pensare che questo limite avrà lo stesso risultato del limite precedente, e invece no, come dicevo prima, verificando con un software di matematica il risultato di questo limite è $ infty $ per il destro e $ - infty $ per il sinistro (praticamente l'opposto del limite precedente). Non capisco perchè.
Qualcuno sa dirmi come mai, se il seno a $ pi/6 $ ed a $ 5/6pi $ fa sempre $ 1/2 $ i risultati di questi limiti sono diversi?
sono nuovo e sono alle prese con analisi 1, mi è capitato di calcolare un limite ed ho ottenuto un risultato, poi l'ho controllato con un software di matematica e a quanto pare il risultato è un altro, ma non sto riuscendo a capire perchè.Prima ho calcolato questo limite
$\lim_{x \to \(pi/6+)}log(2sin(x)-1)/(2sin(x)-1)$
E come risultato mi viene $ -infty $ perchè al numeratore l'argomento del logaritmo diventa 0 (il seno a $ pi/6 $ fa $ 1/2 $), il logaritmo di 0 fa$ -infty $, al denominatore mi viene 0+ quindi $ (-infty)/(0+) $ fa $ -infty $. DI conseguenza lo stesso limite però tendente a $ (pi/6-) $ fa $ infty $, perchè il logaritmo fa sempre 0, quindi $ -infty $, al denominatore ci sarà 0-, quindi $ (-infty)/(0-) $ fa $ infty $, e fin qui ci siamo.
Il problema viene quando devo calcolare
$\lim_{x \to \pi5/6+}log(2sin(x)-1)/(2sin(x)-1)$
Il seno a $ 5/6pi $ fa sempre $ 1/2 $ quindi viene da pensare che questo limite avrà lo stesso risultato del limite precedente, e invece no, come dicevo prima, verificando con un software di matematica il risultato di questo limite è $ infty $ per il destro e $ - infty $ per il sinistro (praticamente l'opposto del limite precedente). Non capisco perchè.
Qualcuno sa dirmi come mai, se il seno a $ pi/6 $ ed a $ 5/6pi $ fa sempre $ 1/2 $ i risultati di questi limiti sono diversi?
Risposte
Perché se disegni la circonferenza goniometrica ti accorgi che se $\vartheta$ è poco meno di $\pi/6$ allora $\sin\vartheta$ è poco meno di $\sin(\pi/6)$, se invece $\vartheta$ è poco più di $\pi/6$ allora $\sin\vartheta$ è poco più di $\sin(\pi/6)$. Se ora fai lo stesso ragionamento con $\vartheta$ nell'intorno di $5/6 \pi$, ti accorgi che il ragionamento è opposto, e quindi ottieni un risultato opposto.
"billyballo2123":
Perché se disegni la circonferenza goniometrica ti accorgi che se $\vartheta$ è poco meno di $\pi/6$ allora $\sin\vartheta$ è poco meno di $\sin(\pi/6)$, se invece $\vartheta$ è poco più di $\pi/6$ allora $\sin\vartheta$ è poco più di $\sin(\pi/6)$. Se ora fai lo stesso ragionamento con $\vartheta$ nell'intorno di $5/6 \pi$, ti accorgi che il ragionamento è opposto, e quindi ottieni un risultato opposto.
Intanto grazie mille per la risposta
Scusa ma non ho capito una cosa, mi sono messo la circonferenza goniometrica davanti e l'ho osservata a lungo, comunque per poco meno di $ pi/6 $ intendi dire verso lo $0$ o verso $ pi/4 $?
Perchè se a $ pi/6 $ destro significa che va verso lo $ 0 $, allora è un po' meno di $ pi/6 $ e quindi un po' meno di $ 1/2 $, di conseguenza il primo limite dovrebbe venire al contrario, non il secondo... non ci sto capendo niente
Iniziamo con il precisare che da destra e da sinistra non significano "un po' di più" e "un po' di meno". Comunque facciamo finta che significhino quello che almeno è più semplice.
Per capire meglio, disegnati l'asse reale, e fissa $\pi/6$ in un punto. Se ti avvicini a $\pi/6$ da destra, allora è come se tu stessi considerando i numeri "un po' più grandi" di $\pi/6$, se ti avvicini da sinistra, allora è come se stessi considerando i numeri "un po' più piccoli" di $\pi/6$
Per capire meglio, disegnati l'asse reale, e fissa $\pi/6$ in un punto. Se ti avvicini a $\pi/6$ da destra, allora è come se tu stessi considerando i numeri "un po' più grandi" di $\pi/6$, se ti avvicini da sinistra, allora è come se stessi considerando i numeri "un po' più piccoli" di $\pi/6$
Credo di aver capito, grazie mille per l'aiuto!
"antonioc95":
Salve a tutti ragazzi
Prima ho calcolato questo limite
$\lim_{x \to \(pi/6+)}log(2sin(x)-1)/(2sin(x)-1)$
[...]
DI conseguenza lo stesso limite però tendente a $ (pi/6-) $
C'è un errore. Non ha senso prendere il logaritmo di un numero negativo. Quindi anche l'espressione $\lim_{y\to 0^-}\log y$ non ha senso. Ma questo è proprio quello che tu scrivi, con $y=2\sin(x)-1$.
"dissonance":
[quote="antonioc95"]Salve a tutti ragazzi
Prima ho calcolato questo limite
$\lim_{x \to \(pi/6+)}log(2sin(x)-1)/(2sin(x)-1)$
[...]
DI conseguenza lo stesso limite però tendente a $ (pi/6-) $
C'è un errore. Non ha senso prendere il logaritmo di un numero negativo. Quindi anche l'espressione $\lim_{y\to 0^-}\log y$ non ha senso. Ma questo è proprio quello che tu scrivi, con $y=2\sin(x)-1$.[/quote]
Ci avevo pensato pure io a questa cosa, però se provo a fare questo limite utilizzando un software di matematica mi da meno infinito. Poi con lo stesso software ho provato a fare il limite di $log(x)$ tendente a -1 e mi dice "impossibile", invece con 0- mi da meno infinito, quindi boh...
Ragazzi scusate stavo dimenticando una cosa, qualcuno mi sa dire in quali quadranti della circonferenza goniometrica succede che il limite destro o sinistro si inverte come in questo caso?
Non so se mi sono spiegato bene, per esempio da quello che ho capito nel primo quadrante non si inverte, nel secondo quadrante invece si inverte, nel terzo e nel quarto cosa succede? Scusate ma non lo sto capendo
Non so se mi sono spiegato bene, per esempio da quello che ho capito nel primo quadrante non si inverte, nel secondo quadrante invece si inverte, nel terzo e nel quarto cosa succede? Scusate ma non lo sto capendo
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