Non capico come calcolare il seguente volume con integrale triplo?
Calcolare il volume del solido limitato dal piano $ x+y+z=0 $ e dalla superficie di equazione $ x^2/2 +y^2-x-y-1 $ .
dietro suggerimeto del libro ho fatto: $ int int_(x^2/2 +y^2-x-y-1)^() dx dy int_(-x-x-y)^(x^2/2 +y^2-x-y-1) dz $
Dal secondo integrale ho ricavato il primo e poi il primo l'ho integrato sulla circonferenza di raggio $ sqrt(2) $ con le coordinate polari. Tuttavia mi viene $ 26/9pi $ contro i $ 3/2pi $ . Chiedo scusa ma sono davvero in difficoltà con gli integrali tripli. Ci metto moltissimo per farne uno e non mi trovo mai. Non capisco se sbaglio i conti o c'è qualche problema di fondo e intanto l'esame è tra due settimane
dietro suggerimeto del libro ho fatto: $ int int_(x^2/2 +y^2-x-y-1)^() dx dy int_(-x-x-y)^(x^2/2 +y^2-x-y-1) dz $
Dal secondo integrale ho ricavato il primo e poi il primo l'ho integrato sulla circonferenza di raggio $ sqrt(2) $ con le coordinate polari. Tuttavia mi viene $ 26/9pi $ contro i $ 3/2pi $ . Chiedo scusa ma sono davvero in difficoltà con gli integrali tripli. Ci metto moltissimo per farne uno e non mi trovo mai. Non capisco se sbaglio i conti o c'è qualche problema di fondo e intanto l'esame è tra due settimane
Risposte
Quegli estremi di integrazione non hanno molto senso e sinceramente, lasciare tutto com'è non mi sembra il metodo migliore. Le due superfici hanno equazione
$$x+y+z=0,\qquad z=\frac{x^2}{2}+y^2-x-y-1$$
per cui se effettuiamo il cambiamento di coordinate
$$x+y+z=w,\quad x=\sqrt{2}\rho\cos\theta,\quad y=\rho\sin\theta$$
possiamo riscriverle come
$$w=0,\qquad w=\rho^2-1$$
La mancanza di dipendenza da $\theta$ implica che $\theta\in[0,2\pi]$. Per determinare le condizioni di integrazione per $w$ e $\rho$, disegnando le due curve sul piano $\rho O w$ si hanno l'asse delle ascisse $w$ e la parabola convessa con vertice in $(0,-1)$. Ricordando anche che $\rho\ge 0$ per definizione otteniamo
$$\rho\in[-1,1],\qquad\rho^2-1\le w\le 0$$
Inoltre, essendo lo Jacobiano pari a $\sqrt-{2}\rho$, l'integrale diventa
$$\int_0^{2\pi}\int_{-1}^1\int_{\rho^2-1}^0 \sqrt{2}\rho\ dw\ d\rho\ d\theta$$
$$x+y+z=0,\qquad z=\frac{x^2}{2}+y^2-x-y-1$$
per cui se effettuiamo il cambiamento di coordinate
$$x+y+z=w,\quad x=\sqrt{2}\rho\cos\theta,\quad y=\rho\sin\theta$$
possiamo riscriverle come
$$w=0,\qquad w=\rho^2-1$$
La mancanza di dipendenza da $\theta$ implica che $\theta\in[0,2\pi]$. Per determinare le condizioni di integrazione per $w$ e $\rho$, disegnando le due curve sul piano $\rho O w$ si hanno l'asse delle ascisse $w$ e la parabola convessa con vertice in $(0,-1)$. Ricordando anche che $\rho\ge 0$ per definizione otteniamo
$$\rho\in[-1,1],\qquad\rho^2-1\le w\le 0$$
Inoltre, essendo lo Jacobiano pari a $\sqrt-{2}\rho$, l'integrale diventa
$$\int_0^{2\pi}\int_{-1}^1\int_{\rho^2-1}^0 \sqrt{2}\rho\ dw\ d\rho\ d\theta$$
scusa e quella radice di 2 da dove viene?? Non ho capito :S
Ho imposto io la scelta delle coordinate cilindriche in quel modo, per semplificare la forma della seconda superficie, così il $2$ a denominatore della $x^2$ si cancella quando sostituisci.
Ah, ho modificato sopra perché mi sono dimenticato di rimetterci il $\sqrt{2}$ nel cambiamento.
Ah, ho modificato sopra perché mi sono dimenticato di rimetterci il $\sqrt{2}$ nel cambiamento.
mmm...capito, cerco di farlo seguendo la tua strada allora, grazie 
ahhh l'ho capitoo...solo che i chiedo se mai mi verrebbe in mente un procedimento osì articolato all'esame :'(
Un cambiamento di variabili articolato????
intendevo il cambiamento in sè
Bé, è tutta questione di esperienza: più ne fai, più ti risulta ovvio.
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