Non applicabilità Hopytal

[chess71]

Siano:
$f(x)=(int_{0}^{x} |sin(x)|dx)$
$g(x)=x+arctgx+pi/2$

dimostrare che:
a) non esiste il $lim_(x->+infty) dotf(x)/dotg(x)$

b) esiste il $lim_(x->+infty) f(x)/g(x)$

questo è quindi un caso in cui, pur avendo una rapporto di forma indeterminata, non posso applicare l'Hopytal.


Relativamente al punto a), devo calcolare:
$lim_(x->+infty) (|sin(x)|/(1+1/(1+x^2)))$
che non esiste poichè il numeratore oscilla tra 0 e 1, e il denominatore tende a 1

non riesco a risolvere il punto b)

[Seneca1]

$n * int_0^\pi sin(x) dx = 2 n$

$\pi n + arctan(\pi n) + \pi/2 $

Quindi $(f(n \pi))/(g(n \pi)) -> 2/\pi$ è il candidato limite.

[chess71]

scusami, ma non riesco a seguirti

[chess71]

utilizzando il teorema della media integrale, posso dire che il numeratore tende a $kx$, con $k$ valore medio compreso tra 0 e 1?
questo implicherebbe che il limite globale tenda a $k$ (essendo il numeratore formato da $x$ e da quantità limitate)

[gugo82]

@chess: Hopytal??? Chi era costui?

Ad ogni modo, seguendo il suggerimento di Seneca, potresti provare a dimostrare che:
\[
\frac{f(n\pi)}{g((n+1)\pi)} \leq \frac{f(x)}{g(x)}\leq \frac{f((n+1)\pi)}{g(n\pi)}
\]
per ogni \(n\in \mathbb{N}\) ed \(x\in [n,n+1]\); e poi usare il teorema dei carabinieri.
Mi pare una strada promettente.

[totissimus]

Puoi fare cosi:

\( \displaystyle \int_0^x |sin(t)|dt=\int_{0}^{\pi\left\lfloor \frac{x}{\pi}\right\rfloor }|sin(t)|dt+\int_{\pi\left\lfloor \frac{x}{\pi}\right\rfloor }^{x}|sin(t)|dt=\left\lfloor \frac{x}{\pi}\right\rfloor \int_{0}^{\pi}sin(t)dt+\int_{\pi\left\lfloor \frac{x}{\pi}\right\rfloor }^{x}|sin(t)|dt\)

\( \displaystyle =2\left\lfloor \frac{x}{\pi}\right\rfloor +\int_{\pi\left\lfloor \frac{x}{\pi}\right\rfloor }^{x}|sin(t)|dt\)

\(\displaystyle \int_{\pi\left\lfloor \frac{x}{\pi}\right\rfloor }^{x}|sin(t)|dt\leq x-\pi\left\lfloor \frac{x}{\pi}\right\rfloor \leq\pi\)

\(\displaystyle \frac{1}{\pi}-\frac{1}{x}\leq\frac{\left\lfloor \frac{x}{\pi}\right\rfloor }{x}\leq\frac{1}{\pi}\)

quindi \( \displaystyle \underset{x \rightarrow \infty}{lim}\frac{\left\lfloor \frac{x}{\pi}\right\rfloor }{x}=\frac{1}{\pi}\)

\(\displaystyle \underset{x \rightarrow \infty}{lim} \frac{1}{x} \int_{\pi\left\lfloor \frac{x}{\pi}\right\rfloor }^{x}|sin(t)|dt=0\)

\( \displaystyle \underset{x \rightarrow \infty}{lim}\frac{1}{x} \int_0^x |sin(t)|dt=\frac{2}{\pi}\)

Adesso la conclusione è quasi immediata.