Non ancora controllati ULTIMI 2 :Limiti del Giovedì

[claudia1988-votailprof]

Ne ho fatti altri oggi... spero di essere migliorata..

PRIMO: $\lim_{n \to \infty}[((n+1)^(n+1))/((n+2)^(n))-n/4]*sen(1/n)=[((n+1)^(n)*(n+1))/((n+2)^(n))-n/4]*sen(1/n)=[((n(1+1/n))/(n(1+2/n)))^n*(n+1)-n/4]sen(1/n)=[1^(infty)*(n+1)-n/4]sen(1/n)=1*((n+1)-n/4)sen(1/n)=+infty/4*(sen(1/n))$ ma ho pensato che dato che $-1<=senx<=1$ anche per $sen(1/n)$ vale $-1<=sen(1/n)<=1$ e quindi $+infty*$una limitata $= +infty$

SECONDO: $\lim_{n \to \infty}(n^2*3^n)/5^n=n^2*(3/5)^n=n^2/(5/3)^n=0$ per gli ordini degli infitesimi piccolo/grande

TERZO: $\lim_{n \to \infty}n(sqrt(2n^2+1)-n)=n((sqrt(2n^2+1)-n)*(sqrt(2n^2+1)+n)/(sqrt(2n^2+1)-n))=n((2n^2+1-n^2)/(sqrt(2n^2+1)+n))=(n(n^2+1))/(n(sqrt(2+1/n^2)+1))=+infty/l=+infty$

QUARTO: $\lim_{x \to \0}((cos2x)/cosx)^(1/(x^2))=((cos^2x-sen^2x)/(cosx))^(1/x^2)=1^infty$ allora è una forma indeterminata...e poi come continuo?

QUINTO: $\lim_{n \to \infty}(((n+1)^(n+1))/(n^(n)))(1-cos(1/n))=(((n+1)^(n)(n+1))/(n^(n))-n^2)(1-cos(1/n))=(((n+1)/(n))^(n)*(n+1)-n^2)(1-cos(1/n))=((1+1/n)^n(n+1)-n^2)(1-cos(1/n))=(e*n+e-n^2)(1-cos(1/n))=(n^2(-1+e/n+e/n^2))*(1-cos(1/n))=-infty*(1-cos(1/n))$
ma secondo me, non so se è corretto:
$-1<=cos(1/n)<=1$
$-1>=-cos(1/n)>=1$
$0>=-cos(1/n)>=2$
perciò è limitata, quindi $-infty*(1-cos(1/n))=-infty$

[leena1]

Attenzione: $1^infty$ è una forma indeterminata...

[claudia1988-votailprof]

cavolo! per ogni forma indeterminata si usano certi metodi tipo $0^0$ quello del $e^log$, per questa forma invece?

[leena1]

Ti devi rifare al limite notevole che definisce il numero di nepero:
$\lim_{n \to \infty}(1+1/n)^n = e$

[claudia1988-votailprof]

scusa l'ignoranza, ma mi sta venendo un dubbio: solo nel caso del primo esercizio, che è una successione, $1^infty$ non è elevato solo a numeri naturali positivi? $1^2$, $1^3$, $1^4$ ecc... non fa sempre uno? invece in $R$ è diverso?

[leena1]

Non preoccuparti, anch'io avevo dei dubbi come te la prima volta che l'ho studiato, leggi qui
https://www.matematicamente.it/approfond ... 709051481/
magari ti puo' chiarire le idee

[claudia1988-votailprof]

grazie! usando quel limite viene e/e^2 e quindi 1/e ok, ma dopo vale la disugliaglianza che ho scritto a seguire anche se l'argomento del $sen$ è $1/x$ invece che$ x$?

[claudia1988-votailprof]

e quindi anche continuando in qst modo viene sempre infinito per una limitata quindi infinito, giusto?

e gli altri 4 li hai visti per caso? se ti va puoi dare un'occhiata? sono tutti sopra

[leena1]

Se vuoi riscrivi il limite, perchè così sinceramente non riesco a seguirti.

[claudia1988-votailprof]

ok grazie lo scrivo domani matt, perkè adesso dv scappare a fare il turno d lav
gli altri li ho scritti bene, spero..!

[leena1]

Ho visto il secondo e il terzo e vanno bene

[claudia1988-votailprof]

Grazie, tante: ma il quarto e il quinto sono corretti? qualcuno li ha corretti?