Nesso tra spazi $l$ e $L$

[Petruccioli1]

ciao a tutti, vorrei capire perchè se prendo una funzione $finL^2(A)$ la estendo rendendola periodica e ne faccio la serie di fourier, quest'ultima appartiene allo spazio $l^2(A)$!

perchè un esercizio chiede di determinare per quali valori di $alpha$ la serie di fourier della funzione $f=1/t^alpha$periodicizzata in $(0,2pi)$ appartiene a $l^2$, e la soluzione dice, che è $alpha<1/2$ poichè per tali valori, $finL^2(0,2pi)$.

grazie per le eventuali risposte

[gugo82]

Non è la serie di Fourier ad appartenere allo spazio \(\ell^2\), bensì la successione dei coefficienti di Fourier.

In altre parole, il risultato è il seguente:

Siano \((X,\mu)\) uno spazio di misura.
Se \(\{ f_n\}_{n\in \mathbb{N}}\) è un sistema numerabile ortonormale e completo in \(L^2(\mu)\), allora la successione dei coefficienti di Fourier di ogni \(f\in L^2(\mu)\) è un elemento dello spazio di successioni \(\ell^2\); in altre parole, comunque si scelga \(f\in L^2(\mu)\) si ha:
\[
\sum_{n=0}^\infty \Big|\langle f,f_n\rangle \Big|^2 < +\infty \; .
\]

che è anche noto come teorema di Fischer-Riesz.
Se non ricordo male, sul Rudin, Real and Complex Analysis, nel capitolo sugli spazi di Hilbert c'è un enunciato un po' più generale, in cui compaiono sistemi ortonormali anche non numerabili... Però adesso non ho sottomano il testo e non ricordo completamente l'enunciato.

[Petruccioli1]

grazie per la risposta!!
quindi, se ho ben capito, posso vedere gli ${f_n}_(ninNN)$ come un sistema di vettori ortonormali che costituiscono una base per lo spazio $L^2$ ; quindi il prodotto scalare $$ mi da la proiezione della funzione su l'ennesimo elemento della base; e se $finL^2(A)$ allora per un certo teorema si ha che $sum_n||^2inl^2(A)$, è corretto???
questo teorema qui non ha a che fare con l'identità di bessel-parseval??

[gugo82]

Beh, l'uguaglianza di Parseval ti dà un modo di calcolare la somma di quella serie, giacché essa stabilisce che:

Se \(\{ f_n\}_{n\in \mathbb{N}}\) è un sistema ortonormale e completo di \(L^2(\mu)\) allora:
\[
\sum_{n=0}^\infty \Big| \langle u,f_n\rangle \Big|^2 =\| u\|_2^2 =: \int_X |u|^2\ \text{d} \mu
\]
per ogni \(u\in L^2(\mu)\).

mentre la disuguaglianza di Bessel ti fornisce, in ogni caso, un maggiorante per quella serie, poiché:

Se \(\{ f_n\}_{n\in \mathbb{N}}\) è un sistema ortonormale di \(L^2(\mu)\) allora:
\[
\sum_{n=0}^\infty \Big| \langle u,f_n\rangle \Big|^2 \leq \| u\|_2^2
\]
per ogni \(u\in L^2(\mu)\).

[Petruccioli1]

ok, sei stato molto chiaro, grazie