Nepero, successione limitata
Voglio dimostrare che $(1 + 1/n )^n$ è una successione limitata senza utilizzare la formula del binomio.
Provo (barando, in un certo senso) a vedere se $(1 + 1/n )^n <= 3$ , $AA n in NN$
$(1 + 1/n )^n <= 3$
$Rightarrow 1 + 1/n <= 3^(1/n)$
$Rightarrow 3 ( 1 + 1/n ) <= 3 * 3^(1/n)$
Cioè $3 ( 1 + 1/n ) <= 3^(1/n + 1)$
Ora posso porre $ x = 1 + 1/n $ e vedere per quali $x$
$3x <= 3^x$
La mia domanda è questa: se assumo questo risultato (che è vero, anche se non è proprio immediato, visto che $x$ non è un naturale) posso dedurre che la successione $(1 + 1/n )^n$ è limitata?
Provo (barando, in un certo senso) a vedere se $(1 + 1/n )^n <= 3$ , $AA n in NN$
$(1 + 1/n )^n <= 3$
$Rightarrow 1 + 1/n <= 3^(1/n)$
$Rightarrow 3 ( 1 + 1/n ) <= 3 * 3^(1/n)$
Cioè $3 ( 1 + 1/n ) <= 3^(1/n + 1)$
Ora posso porre $ x = 1 + 1/n $ e vedere per quali $x$
$3x <= 3^x$
La mia domanda è questa: se assumo questo risultato (che è vero, anche se non è proprio immediato, visto che $x$ non è un naturale) posso dedurre che la successione $(1 + 1/n )^n$ è limitata?
Risposte
Mmm.. ho affrontato questo problema come lemma in Analisi 1. Appena torno a casa magari ti scannerizzo la teoria, se la memoria non m'inganna si maggiorava la successione con:
$(1+1/n)^{n+1}$
la quale è limitata, dunque necessariamente quella di partenza è limitata. Se mi viene a mente qualche altro dettaglio lo posterò!
$(1+1/n)^{n+1}$
la quale è limitata, dunque necessariamente quella di partenza è limitata. Se mi viene a mente qualche altro dettaglio lo posterò!
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