Negazione - Uniforme continuità
La negazione logica della definizione di uniforme continuità è la seguente?
$f: E (sube RR) -> RR$
$EE epsilon_0 >0 : AA delta > 0, EE x_1, x_2 in E : | x_1 - x_2| < delta => | f(x_1) - f(x_2) | > epsilon_0$
Grazie in anticipo.
$f: E (sube RR) -> RR$
$EE epsilon_0 >0 : AA delta > 0, EE x_1, x_2 in E : | x_1 - x_2| < delta => | f(x_1) - f(x_2) | > epsilon_0$
Grazie in anticipo.
Risposte
Quasi. 
Non c'è l'implica, ma c'è un $^^$, perchè la negazione di $A => B$ è $A ^^ not B$.
$f: E (sube RR) -> RR$
$EE epsilon_0 >0 : AA delta > 0, EE x_1, x_2 in E : | x_1 - x_2| < delta ^^ | f(x_1) - f(x_2) | > epsilon_0$
Non c'è l'implica, ma c'è un $^^$, perchè la negazione di $A => B$ è $A ^^ not B$.
$f: E (sube RR) -> RR$
$EE epsilon_0 >0 : AA delta > 0, EE x_1, x_2 in E : | x_1 - x_2| < delta ^^ | f(x_1) - f(x_2) | > epsilon_0$
Perfetto. Grazie infinite...
Figurati, è un piacere. 
maggiore o uguale ad epsilon zero...
"Fioravante Patrone":
maggiore o uguale ad epsilon zero...
Giusto. Grazie mille.
Scrivendo la definizione senza implicazione (che non c'entra nulla e se ne può fare abbondantemente a meno):
[tex]$\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0:\quad \forall x_1,\ x_2 \in E \text{ con } |x_1-x_2|<\delta ,\ |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$[/tex]
si ha semplicemente:
[tex]$\exists \varepsilon >0:\quad \forall \delta >0,\ \exists x_1,\ x_2 \in E \text{ con } |x_1-x_2|<\delta :\quad |f(x_1)-f(x_2)|\geq \varepsilon$[/tex].
Invece di usare [tex]$\text{con}$[/tex] (che ai "puristi" può non piacere), si può usare qualcosa di più sofisticato: ad esempio la condizione [tex]$\forall x_1,\ x_2 \in E \text{ con } |x_1-x_2|<\delta$[/tex] potrebbe essere rimpiazzata con [tex]$\forall x_1 \in E,\ \forall x_2 \in E\cap ]x_1-\delta ,x_1+\delta[$[/tex]... Ma ciò non è affatto utile al fine "pratico" ed inserirebbe nella frase un elemento estraneo, ossia l'asimmetria nella scelta dei due punti [tex]$x_1,\ x_2$[/tex] (in quanto, per fissare un [tex]$x_2$[/tex] adatto, servirebbe fissare prima un valore di [tex]$x_1$[/tex]).
L'importante, se si usa [tex]$\text{con}$[/tex], è ricordare che la proprietà che esso precede non va negata (diciamo va trattata alla stregua di una relazione d'appartenenza).
[tex]$\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0:\quad \forall x_1,\ x_2 \in E \text{ con } |x_1-x_2|<\delta ,\ |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$[/tex]
si ha semplicemente:
[tex]$\exists \varepsilon >0:\quad \forall \delta >0,\ \exists x_1,\ x_2 \in E \text{ con } |x_1-x_2|<\delta :\quad |f(x_1)-f(x_2)|\geq \varepsilon$[/tex].
Invece di usare [tex]$\text{con}$[/tex] (che ai "puristi" può non piacere), si può usare qualcosa di più sofisticato: ad esempio la condizione [tex]$\forall x_1,\ x_2 \in E \text{ con } |x_1-x_2|<\delta$[/tex] potrebbe essere rimpiazzata con [tex]$\forall x_1 \in E,\ \forall x_2 \in E\cap ]x_1-\delta ,x_1+\delta[$[/tex]... Ma ciò non è affatto utile al fine "pratico" ed inserirebbe nella frase un elemento estraneo, ossia l'asimmetria nella scelta dei due punti [tex]$x_1,\ x_2$[/tex] (in quanto, per fissare un [tex]$x_2$[/tex] adatto, servirebbe fissare prima un valore di [tex]$x_1$[/tex]).
L'importante, se si usa [tex]$\text{con}$[/tex], è ricordare che la proprietà che esso precede non va negata (diciamo va trattata alla stregua di una relazione d'appartenenza).
A me piace l'implicazione, che c'entra eccome. L'idea sta proprio nel fatto che: se i punti sono vicini, allora le immagini sono vicine.
Aggiungo che vorrei capire con quale connettivo o quale altra diavoleria sostituisci "con" in un linguaggio formale.
Aggiungo che vorrei capire con quale connettivo o quale altra diavoleria sostituisci "con" in un linguaggio formale.
"Fioravante Patrone":
Aggiungo che vorrei capire con quale connettivo o quale altra diavoleria sostituisci "con" in un linguaggio formale.
Ad esempio con [tex]$\forall (x_1,x_2)\in E_\delta :=\{ (y_1,y_2)\in E^2:\ |y_1-y_2|<\delta \}$[/tex] (N.B.: [tex]$(x_1,x_2) \in E_\delta \Leftrightarrow (x_2,x_1) \in E_\delta$[/tex]; quindi questa alternativa è meno brutta di quella proposta nell'altro post perchè non inserisce l'asimmetria tra le due variabili).
Se dell'implicazione ne faccio a meno nella definizione di continuità, non vedo perchè usarla nella definizione della continuità uniforme.
"gugo82":Ok per la risposta formale, ma non capisco perché non ti piaccia l'implicazione, che "c'è" anche nella continuità!
Se dell'implicazione ne faccio a meno nella definizione di continuità, non vedo perchè usarla nella definizione della continuità uniforme.
"Fioravante Patrone":Ok per la risposta formale, ma non capisco perché non ti piaccia l'implicazione, che "c'è" anche nella continuità![/quote]
[quote="gugo82"]Se dell'implicazione ne faccio a meno nella definizione di continuità, non vedo perchè usarla nella definizione della continuità uniforme.
Mai usata l'implicazione.
Uso semplicemente questa come definizione di continuità:
[tex]$\forall \varepsilon >0 ,\ \exists \delta >0: \forall x\in E\cap ]x_0-\delta, x_0+\delta[ ,\ |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$[/tex]
letta "per ogni [tex]$\varepsilon$[/tex] positivo esiste un [tex]$\delta$[/tex] positivo tale che per ogni [tex]$x\in E\cap ]x_0-\delta, x_0+\delta[$[/tex] risulta [tex]$|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$[/tex]".
D'altra parte, non vedo perchè convenga introdurla l'implicazione.
Per me il "tale che" asserisce un fatto riguardante gli elementi di un insieme, non la possibilità di un'implicazione tra due condizioni; ma credo sia più una scelta stilistica che un fatto di sostanza.
Sono d'accordo con Fioravante, cosa vuol dire "risulta" o "tale che"? in Analisi 1 ti insegnano che sono solo modi di dire abbreviati che sottintendono una certa struttura logica, che non va assolutamente dimenticata o omessa, per esempio come in questo caso in cui la corretta negazione è la congiunzione riportata da Paolo90.
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