Negazione totale per le serie!
Salve a tutti, mi sto preparando e sbattendo la testa per l'esame di analisi matematica...
Mi sono messo a risolvere le serie, e probabilmente sbaglio metodo di applicazione, ma non riesco a capire alcuni svolgimenti...
\[\sum _{n=1}^{\infty } \frac{\sqrt{2 n-1} \log (4 n+1)}{n (n+1)}\]
Con questa serie, determino prima la condizione necessaria ovvero che sia infinitesima, e ok.. è infinitesima!
Per lo sviluppo, faccio il criterio del confronto e ottengo come risultato 1, quello della radice è un apocalisse atroce... il metodo che preferirei adottare è quello del confronto asintotico.. ma nessuna delle serie notevoli mi pare possa fare al caso suo..
Allora... se tentassi il confronto asintotico con il risultato del limite?
\[\frac{2}{2 \sqrt{2 n-1} n}\]
Sto impazzendo (probabilmente su una fesseria)!!!
Mi sono messo a risolvere le serie, e probabilmente sbaglio metodo di applicazione, ma non riesco a capire alcuni svolgimenti...
\[\sum _{n=1}^{\infty } \frac{\sqrt{2 n-1} \log (4 n+1)}{n (n+1)}\]
Con questa serie, determino prima la condizione necessaria ovvero che sia infinitesima, e ok.. è infinitesima!
Per lo sviluppo, faccio il criterio del confronto e ottengo come risultato 1, quello della radice è un apocalisse atroce... il metodo che preferirei adottare è quello del confronto asintotico.. ma nessuna delle serie notevoli mi pare possa fare al caso suo..
Allora... se tentassi il confronto asintotico con il risultato del limite?
\[\frac{2}{2 \sqrt{2 n-1} n}\]
Sto impazzendo (probabilmente su una fesseria)!!!
Risposte
Dimenticavo.. per il confronto asintotico non bisogna fare il limite del rapporto delle due serie? se questo esce 1 allora sono asintotiche... perchè in questo caso la mia ultima ipotesi sarebbe automaticamente sbagliata
lascia stare la condizione se il termine generale tende a zero. Quel teorema o corollario (dipende dai prof di analisi matematica) è molto piu' utile per determinare la NON convergenza.. di certo se il termine generale diverge, la serie NON CONVERGE!
tipo $\sum_1^{+\infty} 1/n$ il suo termine generale è infinitesimo, ma la serie NON converge, anzi diverge!
per la tua serie io farei così
per quanto riguarda il tuo termine generale $a_n=(\sqrt{2n-1}\ln(4n+1))/(n(n+1))$
ok facciamo il limite per $n\to +\infty$
il denominatore è asintotico a $n^2$
per il numeratore $\sqrt{2n-1}\ln(4n+1)=\sqrt{2n}(1-(1)/(2n))^{1/2}\cdot[\ln(4n)+\ln(1+(1)/(4n))]$
ora applichi gli sviluppi, prova
tipo $\sum_1^{+\infty} 1/n$ il suo termine generale è infinitesimo, ma la serie NON converge, anzi diverge!
per la tua serie io farei così
per quanto riguarda il tuo termine generale $a_n=(\sqrt{2n-1}\ln(4n+1))/(n(n+1))$
ok facciamo il limite per $n\to +\infty$
il denominatore è asintotico a $n^2$
per il numeratore $\sqrt{2n-1}\ln(4n+1)=\sqrt{2n}(1-(1)/(2n))^{1/2}\cdot[\ln(4n)+\ln(1+(1)/(4n))]$
ora applichi gli sviluppi, prova
in realtà applicando il confronto asintotico hai che
\begin{align}
\frac{\sqrt{2 n-1} \log (4 n+1)}{n (n+1)}\sim \frac{\sqrt{2 n } \log 4 n }{n^2}\sim \frac{C}{n^{\frac{3}{2}}\ln^{-1} n}
\end{align}
da cui dovresti concludere
\begin{align}
\frac{\sqrt{2 n-1} \log (4 n+1)}{n (n+1)}\sim \frac{\sqrt{2 n } \log 4 n }{n^2}\sim \frac{C}{n^{\frac{3}{2}}\ln^{-1} n}
\end{align}
da cui dovresti concludere
"Noisemaker":
in realt\\ìa applicando il confronto asintotico ha che
\begin{align}
\frac{\sqrt{2 n-1} \log (4 n+1)}{n (n+1)}\sim \frac{\sqrt{2 n } \log 4 n }{n^2}\sim \frac{C}{n^{\frac{3}{2}}\ln^{-1} n}
\end{align}
da cui dovresti concludere
sì va bene anche così! condivido!
"55sarah":
lascia stare la condizione se il termine generale tende a zero. Quel teorema o corollario (dipende dai prof di analisi matematica) è molto piu' utile per determinare la NON convergenza.. di certo se il termine generale diverge, la serie NON CONVERGE!
tipo $\sum_1^{+\infty} 1/n$ il suo termine generale è infinitesimo, ma la serie NON converge, anzi diverge!
Non sono completamente d'accordo.
Infatti, credo che questo punto di vista sia pienamente condivisibile solo se ci si limita a controllare la condizione necessaria alla convergenza con una certa superficialità, cioè se ci si limita a dire che \(\lim a_n=0\) o no senza approfondire l'analisi.
Per esperienza, il più delle volte già quando si controlla se è soddisfatta la CN si riesce a capire se la serie assegnata converge (converge assolutamente, nel caso di termini di segno qualsiasi) o no, perché molte volte calcolando il \(\lim a_n\) è possibile determinare "quanto velocemente" il termine generale va a zero (se ci va) e dunque concludere col criterio dell'ordine di inifinitesimo.
Certo, questa cosa non si può fare sempre, ma quando riesce fa risolvere gli esercizi "ad occhio".
Il mio docente è un tipo piuttosto puntiglioso, vuole alcuni passaggi fatti (tra cui la condizione necessaria)
Comunque più o meno ci sono riuscito... ancora però non mi è ben chiaro come affrontare certe serie...
Considerando la riflessione di gugo82, beh si ad occhio si vede che certe serie convergono ed altre no.. ma è anche vero che in alcune serie (1/n) la cosa non vale... il mio obiettivo, per quanto probabilmente sbagliato, è trovare una sorta di metodo risolutivo di facile applicazione poichè a quanto mi è parso di capire, la maggior parte delle serie si possono risolvere per confronto asintotico, indagando in giro prima di rivolgermi a voi (eminenze matematiche
), è uscito fuori che questo confronto asintotico si dovesse fare esclusivamente con serie notevoli.. armonica generalizzata, mengoli ecc...
Ma, nonostante esercizi svolti su libro e nei pdf siano casualmente così facili da ricondurre a queste serie "notevoli" è altresì vero che nel caso reale non capitino di certo!
Normalmente come agireste per risolvere questi problemi?
Comunque più o meno ci sono riuscito... ancora però non mi è ben chiaro come affrontare certe serie...
Considerando la riflessione di gugo82, beh si ad occhio si vede che certe serie convergono ed altre no.. ma è anche vero che in alcune serie (1/n) la cosa non vale... il mio obiettivo, per quanto probabilmente sbagliato, è trovare una sorta di metodo risolutivo di facile applicazione poichè a quanto mi è parso di capire, la maggior parte delle serie si possono risolvere per confronto asintotico, indagando in giro prima di rivolgermi a voi (eminenze matematiche
), è uscito fuori che questo confronto asintotico si dovesse fare esclusivamente con serie notevoli.. armonica generalizzata, mengoli ecc... Ma, nonostante esercizi svolti su libro e nei pdf siano casualmente così facili da ricondurre a queste serie "notevoli" è altresì vero che nel caso reale non capitino di certo!
Normalmente come agireste per risolvere questi problemi?
il tuo discorso è pò confuso .... in realtà l'osservazione di gugo82 si riferiva proprio ad una serie del tipo $1/n$ , in quanto ad "occhio" si vede che non converge, andando a zero di ordine uno. In quel senso intendeva ad "occhio". Il confronto asintotico inoltre ti consente di studiare una nuova serie il cui termie generale risulta più semplice da affrontare: ad esempio nel precedente post ti ho fatto la stima asintotica e siamo arrivati ad avere un termine generale più semplice da trattare, ovvero
\begin{align} ...\sim \frac{C}{n^{\frac{3}{2}}\ln^{-1} n} \end{align}
\begin{align} ...\sim \frac{C}{n^{\frac{3}{2}}\ln^{-1} n} \end{align}
Ad esempio, prendiamo la tua serie, ossia quella avente come addendi i numeri \(a_n=\frac{\sqrt{2n-1}}{n(n+1)}\log (4n+1)\).
Si ha:
\[
\begin{split}
\lim_n a_n &= \lim_n \frac{\sqrt{2n-1}}{n(n+1)}\log (4n+1) \\
&= \lim_n \frac{\sqrt{n}\ \sqrt{2-1/n}}{n^2\ (1+1/n)}\log (n(4+1/n))\\
&= \lim_n \frac{\sqrt{2-1/n}}{n^{3/2}\ (1+1/n)}\ \left( \log n + \log(4+1/n)\right)\\
&= \lim_n \frac{\sqrt{2-1/n}}{n^{3/2}\ (1+1/n)}\ \log n\ \left( 1 + \frac{\log(4+1/n)}{\log n}\right)\\
&= \lim_n \frac{\log n}{n^{3/2}}\ \frac{\sqrt{2-1/n}}{1+1/n}\ \left( 1 + \frac{\log(4+1/n)}{\log n}\right)
\end{split}
\]
di qui si capiscono due cose: che il limite viene zero, quindi la CN è soddisfatta, e che la successione \(a_n\) è asintoticamente equivalente ad un multiplo della successione \(\frac{\log n}{n^{3/2}}\), cosicché essa è un infinitesimo non dotato di ordine, ma d'ordine superiore ad ogni \(\alpha <3/2\).
Pertanto, la serie assegnata converge per il criterio dell'ordine di infinitesimo.
Si ha:
\[
\begin{split}
\lim_n a_n &= \lim_n \frac{\sqrt{2n-1}}{n(n+1)}\log (4n+1) \\
&= \lim_n \frac{\sqrt{n}\ \sqrt{2-1/n}}{n^2\ (1+1/n)}\log (n(4+1/n))\\
&= \lim_n \frac{\sqrt{2-1/n}}{n^{3/2}\ (1+1/n)}\ \left( \log n + \log(4+1/n)\right)\\
&= \lim_n \frac{\sqrt{2-1/n}}{n^{3/2}\ (1+1/n)}\ \log n\ \left( 1 + \frac{\log(4+1/n)}{\log n}\right)\\
&= \lim_n \frac{\log n}{n^{3/2}}\ \frac{\sqrt{2-1/n}}{1+1/n}\ \left( 1 + \frac{\log(4+1/n)}{\log n}\right)
\end{split}
\]
di qui si capiscono due cose: che il limite viene zero, quindi la CN è soddisfatta, e che la successione \(a_n\) è asintoticamente equivalente ad un multiplo della successione \(\frac{\log n}{n^{3/2}}\), cosicché essa è un infinitesimo non dotato di ordine, ma d'ordine superiore ad ogni \(\alpha <3/2\).
Pertanto, la serie assegnata converge per il criterio dell'ordine di infinitesimo.
"gugo82":
Ad esempio, prendiamo la tua serie, ossia quella avente come addendi i numeri \(a_n=\frac{\sqrt{2n-1}}{n(n+1)}\log (4n+1)\).
Si ha:
\[
\begin{split}
\lim_n a_n &= \lim_n \frac{\sqrt{2n-1}}{n(n+1)}\log (4n+1) \\
&= \lim_n \frac{\sqrt{n}\ \sqrt{2-1/n}}{n^2\ (1+1/n)}\log (n(4+1/n))\\
&= \lim_n \frac{\sqrt{2-1/n}}{n^{3/2}\ (1+1/n)}\ \left( \log n + \log(4+1/n)\right)\\
&= \lim_n \frac{\sqrt{2-1/n}}{n^{3/2}\ (1+1/n)}\ \log n\ \left( 1 + \frac{\log(4+1/n)}{\log n}\right)\\
&= \lim_n \frac{\log n}{n^{3/2}}\ \frac{\sqrt{2-1/n}}{1+1/n}\ \left( 1 + \frac{\log(4+1/n)}{\log n}\right)
\end{split}
\]
di qui si capiscono due cose: che il limite viene zero, quindi la CN è soddisfatta, e che la successione \(a_n\) è asintoticamente equivalente ad un multiplo della successione \(\frac{\log n}{n^{3/2}}\), cosicché essa è un infinitesimo non dotato di ordine, ma d'ordine superiore ad ogni \(\alpha <3/2\).
Pertanto, la serie assegnata converge per il criterio dell'ordine di infinitesimo.
Ecco questo è un criterio che non sapevo, in genere abbiamo usato per le serie a termini non negativi i criteri del rapporto, della radice e del confronto ma questo mai... ora mi chiedo se sia stato solo un caso o se questo metodo possa essere reso tramite confronto asintotico visto che questo criterio è molto simile alle condizioni di convergenza dell'armonica generalizzata.
non ho mai visto una cosa del genere negli esercizi proposti (forse esiste qualche passaggio intermedio più elementare) questo esercizio ad esempio l'ho cercato su internet, e non è molto in linea con quelli dati nei vari appelli...
Vi ringrazio per la pazienza avuta, e volevo chiedervi se qualcuno avesse qualche sito da consigliarmi per trovare serie numeriche, magari svolte
Torno con un altro problema attinente...
Ho incontrato la seguente serie
\[\sum _{n=1}^{\infty } \frac{\cos ^2(2 n)}{n (n+1)}\]
Decido di affrontarla con il criterio del rapporto, quindi faccio il limite della successione ed arrivo a questo punto
\[\lim_{n\to \infty } \, \frac{\cos ^2(2 n)}{n+2}=0\]
Aggiungo il risultato perché, arrivato a questo punto ho interpellato WolframAlpha nella speranza di ricevere l'illuminazione.. ma non è servito a molto.. come fà ad uscire 0? La funzione del coseno dovrebbe essere periodica e quindi non dovrebbe andare molto d'accordo con il limite, no? E allora sto pensando a qualche modo per scomporre il coseno, ma dopo un pò di ricerche non ho ottenuto molto se non un misero risultato
\[1-\sin ^2(2n)\]
oppure il metodo di wolfram che scompone il tutto ottenendo qualcosa come
\[cos 2(\lim_{n\to \infty } \,n)\]
grazie per l'aiuto!
Ho incontrato la seguente serie
\[\sum _{n=1}^{\infty } \frac{\cos ^2(2 n)}{n (n+1)}\]
Decido di affrontarla con il criterio del rapporto, quindi faccio il limite della successione ed arrivo a questo punto
\[\lim_{n\to \infty } \, \frac{\cos ^2(2 n)}{n+2}=0\]
Aggiungo il risultato perché, arrivato a questo punto ho interpellato WolframAlpha nella speranza di ricevere l'illuminazione.. ma non è servito a molto.. come fà ad uscire 0? La funzione del coseno dovrebbe essere periodica e quindi non dovrebbe andare molto d'accordo con il limite, no? E allora sto pensando a qualche modo per scomporre il coseno, ma dopo un pò di ricerche non ho ottenuto molto se non un misero risultato
\[1-\sin ^2(2n)\]
oppure il metodo di wolfram che scompone il tutto ottenendo qualcosa come
\[cos 2(\lim_{n\to \infty } \,n)\]
grazie per l'aiuto!
Torno con un altro problema attinente...
Ho incontrato la seguente serie
\[\sum _{n=1}^{\infty } \frac{\cos ^2(2 n)}{n (n+1)}\]
Decido di affrontarla con il criterio del rapporto, quindi faccio il limite della successione ed arrivo a questo punto
\[\lim_{n\to \infty } \, \frac{\cos ^2(2 n)}{n+2}=0\]
Aggiungo il risultato perché, arrivato a questo punto ho interpellato WolframAlpha nella speranza di ricevere l'illuminazione.. ma non è servito a molto.. come fà ad uscire 0? La funzione del coseno dovrebbe essere periodica e quindi non dovrebbe andare molto d'accordo con il limite, no? E allora sto pensando a qualche modo per scomporre il coseno, ma dopo un pò di ricerche non ho ottenuto molto se non un misero risultato
\[1-\sin ^2(2n)\]
oppure il metodo di wolfram che scompone il tutto ottenendo qualcosa come
\[cos 2(\lim_{n\to \infty } \,n)\]
Non capisco come procedere
grazie per l'aiuto!
Ho incontrato la seguente serie
\[\sum _{n=1}^{\infty } \frac{\cos ^2(2 n)}{n (n+1)}\]
Decido di affrontarla con il criterio del rapporto, quindi faccio il limite della successione ed arrivo a questo punto
\[\lim_{n\to \infty } \, \frac{\cos ^2(2 n)}{n+2}=0\]
Aggiungo il risultato perché, arrivato a questo punto ho interpellato WolframAlpha nella speranza di ricevere l'illuminazione.. ma non è servito a molto.. come fà ad uscire 0? La funzione del coseno dovrebbe essere periodica e quindi non dovrebbe andare molto d'accordo con il limite, no? E allora sto pensando a qualche modo per scomporre il coseno, ma dopo un pò di ricerche non ho ottenuto molto se non un misero risultato
\[1-\sin ^2(2n)\]
oppure il metodo di wolfram che scompone il tutto ottenendo qualcosa come
\[cos 2(\lim_{n\to \infty } \,n)\]
Non capisco come procedere
grazie per l'aiuto!
La serie
\begin{align}
\sum _{n=1}^{\infty } \frac{\cos ^2(2 n)}{n (n+1)}
\end{align}
è senz'altro a termini positivi, grazie alla presenza del quadrato a numeratore; osservato ciò senz'altro possiamo considerare il confronto del termine generale, ovvero osservare che
\begin{align}
\frac{\cos ^2(2 n)}{n (n+1)}\le\frac{1}{n (n+1)} \to \mbox{converge, serie di Mengoli}
\end{align}
se avessimo voluto utilizzare il criterio del rapporto come dici tu, avremo ottenuto una cosa del genere:
\begin{align}
\sum _{n=1}^{\infty } \frac{\cos ^2(2 n)}{n (n+1)}&\stackrel{Ratio}{\Longrightarrow}\lim_{n\to+\infty} \frac{\cos ^2(2 n+2)}{(n+2) (n+1)}\cdot \frac{n (n+1)}{\cos ^2(2 n)}=\lim_{n\to+\infty} \frac{\cos ^2(2 n+2)}{\cos ^2(2 n) }\cdot \frac{n }{n+2}\\
&=\not\exists
\end{align}
quindi il criterio del rapporto isulta inefficacie.
\begin{align}
\sum _{n=1}^{\infty } \frac{\cos ^2(2 n)}{n (n+1)}
\end{align}
è senz'altro a termini positivi, grazie alla presenza del quadrato a numeratore; osservato ciò senz'altro possiamo considerare il confronto del termine generale, ovvero osservare che
\begin{align}
\frac{\cos ^2(2 n)}{n (n+1)}\le\frac{1}{n (n+1)} \to \mbox{converge, serie di Mengoli}
\end{align}
se avessimo voluto utilizzare il criterio del rapporto come dici tu, avremo ottenuto una cosa del genere:
\begin{align}
\sum _{n=1}^{\infty } \frac{\cos ^2(2 n)}{n (n+1)}&\stackrel{Ratio}{\Longrightarrow}\lim_{n\to+\infty} \frac{\cos ^2(2 n+2)}{(n+2) (n+1)}\cdot \frac{n (n+1)}{\cos ^2(2 n)}=\lim_{n\to+\infty} \frac{\cos ^2(2 n+2)}{\cos ^2(2 n) }\cdot \frac{n }{n+2}\\
&=\not\exists
\end{align}
quindi il criterio del rapporto isulta inefficacie.
Ottimo, così ha effettivamente senso! Non ci stavo capendo più niente, mi sono imbarcato in un criterio senza capo ne coda
Grazie mille Noisemaker!
Già che ci sono dovrei calcolare anche il raggio di convergenza e l'intervallo di convergenza della seguente serie:
\[\sum _{n=1}^m \frac{(-1)^n x^n}{n^3}\]
Svolgendo il tutto ottengo come risultato del limite, con il criterio del rapporto
\[-x\]
Mentre con il criterio della radice ottengo
\[\frac{-x}{\sqrt[n]{n^3}}\]
e il risultato evidentemente è sempre lo stesso... ammesso quindi questi risultati il raggio di convergenza dovrebbe essere
\[\frac{1}{l}\]
che in questo caso vale -1, quindi la convergenza si ha per
\[\left |x-x^{_{0}} \right |
\[\left |x \right |<-1 \]
Anche se mi sà di sbagliare qualcosina
Grazie mille Noisemaker!
Già che ci sono dovrei calcolare anche il raggio di convergenza e l'intervallo di convergenza della seguente serie:
\[\sum _{n=1}^m \frac{(-1)^n x^n}{n^3}\]
Svolgendo il tutto ottengo come risultato del limite, con il criterio del rapporto
\[-x\]
Mentre con il criterio della radice ottengo
\[\frac{-x}{\sqrt[n]{n^3}}\]
e il risultato evidentemente è sempre lo stesso... ammesso quindi questi risultati il raggio di convergenza dovrebbe essere
\[\frac{1}{l}\]
che in questo caso vale -1, quindi la convergenza si ha per
\[\left |x-x^{_{0}} \right |
\[\left |x \right |<-1 \]
Anche se mi sà di sbagliare qualcosina
Provo a speiegartelo in due modi: considerandala come una serie numerica e come una serie di potenze:
[*:ze9wcn2c] come serie numerica dipendente da un parametro
in questo caso abbiamo a che fare con una serie che non mantiene segno costante; allora considerando il valore assoluto del termine generale, otteniamo:
\begin{align}
\left|\frac{(-1)^n }{n^3}\cdot x^n\right|=\frac{1}{n^3}\cdot \left|x\right|^n\stackrel{Ratio}{\Longrightarrow}\lim_{n\to+\infty}\frac{\left|x\right|^{n+1}}{(n+1)^3} \cdot \frac{n^3}{\left|x\right|^n}=|x|
\end{align}
a questo punto il criterio del rapporto ci dice che se questo limite è minore di $1$ allora la serie converge, mentre se è maggiore di $1$ la serie diverge e se il limite è uguale a $1$ allora il criterio risulta inefficacie; dunque nel nostro caso avremo che la serie converge se e solo se
\begin{align}
|x|<1\qquad\Leftrightarrow\qquad-1
si tratta di capire cosa succede quando il criterio che abbiamo applicato non ci da informazioni, ovvero il caso
\begin{align}
|x|=1\qquad\Leftrightarrow\qquad x=\pm1
\end{align}
poniamo allora i due valori nella serie data e vedimo cosa succede:
[*:ze9wcn2c] se $x=1$ in tal caso la serie diventa:
\begin{align}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n }{n^3} \to\mbox{converge per Leibniz}
\end{align}[/*:m:ze9wcn2c]
[*:ze9wcn2c] se $=-1$
in tal caso la serie diventa:
\begin{align}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n \cdot (-1)^n}{n^3} =\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{2n} }{n^3} =\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^3}\to\mbox{converge }
\end{align}[/*:m:ze9wcn2c][/list:u:ze9wcn2c]
In definitiva la serie converge per $-1\le x\le 1$[/*:m:ze9wcn2c]
[*:ze9wcn2c] come serie di potenze
In questo caso, si nota che è una serie di potenze, essendoci un coefficiente $a_n$ ed una potenza $x^n;$ il centro del Dominio allora sarà $x=0$ (cioè la serie di potenze risuta centrata in $x=0$) , e dunque sarà un intervallo centrato in $x=;0$ per trovare il raggio di convergenza, si applica il criterio del rapporto al termine generale, preso in valore assoluto, si calcola cioè il limite:
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{(n+1)^3} \cdot \frac{n^3}{1}=1\qquad\Rightarrow \qquad R=\frac{1}{1}=1
\end{align}
dunque la serie di potenze ha raggio $R=1$ e centro in $x=0,$ e dunque il domino (l'insieme di convergenza) sarà l'intervallo
\[-1
[*:ze9wcn2c] se $x=1$ in tal caso la serie diventa:
\begin{align}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n }{n^3} \to\mbox{converge per Leibniz}
\end{align}[/*:m:ze9wcn2c]
[*:ze9wcn2c] se $=-1$
in tal caso la serie diventa:
\begin{align}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n \cdot (-1)^n}{n^3} =\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{2n} }{n^3} =\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^3}\to\mbox{converge }
\end{align}[/*:m:ze9wcn2c][/list:u:ze9wcn2c]
In definitiva il dominio della serie è $-1\le x\le 1$[/*:m:ze9wcn2c][/list:u:ze9wcn2c]
Potrei iniziare ad adularti Noise!
Quindi in ogni caso, una volta trovato il criterio funzionale allo scopo (penso andasse bene anche quello della radice come lo avevo fatto considerato che il risultato era il medesimo, probabilmente ho dimenticato il valore assoluto ) ne tiro via l'intervallo di convergenza e poi provo comunque i singoli estremi per vedere se sono compresi o meno, esatto?
Ancora qualche dubbio, e poi spero di lasciarvi in pace sempre sulle serie...
Come si farebbe con una serie del tipo
\[\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{n}{2^{n}}(x-3)^{n}\]
E c'è una bacchetta magica (!!! ) per capire in generale come affrontare una serie senza problemi? Sarà la riluttanza dell'esame ripetuto, ma vado in crisi!
Quindi in ogni caso, una volta trovato il criterio funzionale allo scopo (penso andasse bene anche quello della radice come lo avevo fatto considerato che il risultato era il medesimo, probabilmente ho dimenticato il valore assoluto
) ne tiro via l'intervallo di convergenza e poi provo comunque i singoli estremi per vedere se sono compresi o meno, esatto?Ancora qualche dubbio, e poi spero di lasciarvi in pace
sempre sulle serie...Come si farebbe con una serie del tipo
\[\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{n}{2^{n}}(x-3)^{n}\]
E c'è una bacchetta magica (!!!
) per capire in generale come affrontare una serie senza problemi? Sarà la riluttanza dell'esame ripetuto, ma vado in crisi!
Si tratta di una serie di potenze, di coefficienti $a_n=(-1)^n\frac{n}{2^n}$ e con centro del dominio di convergenza $x=3;$ per trovare il raggio di convergenza applicando il rapporto, hai che
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to+\infty} \frac{n+1}{2^{n+1}} \cdot\frac{2^{n}}{n}= \frac{1}{2}\qquad \Rightarrow\qquad R=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2
\end{align}
dunque la serie ha come dominio di convergenza l'intervallo $1
\begin{align}
\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{n}{2^{n}}(-2)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{2n}\frac{n}{2^{n}} 2 ^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} n\to \mbox{non converge}
\end{align}
se $x=5$ la serie diventa:
\begin{align}
\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{n}{2^{n}} 2^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{ n} n\to \mbox{non converge}
\end{align}
agli estremi dunque non converge; si conclude che il dominio di convergenza è $1
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to+\infty} \frac{n+1}{2^{n+1}} \cdot\frac{2^{n}}{n}= \frac{1}{2}\qquad \Rightarrow\qquad R=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2
\end{align}
dunque la serie ha come dominio di convergenza l'intervallo $1
\begin{align}
\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{n}{2^{n}}(-2)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{2n}\frac{n}{2^{n}} 2 ^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} n\to \mbox{non converge}
\end{align}
se $x=5$ la serie diventa:
\begin{align}
\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{n}{2^{n}} 2^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{ n} n\to \mbox{non converge}
\end{align}
agli estremi dunque non converge; si conclude che il dominio di convergenza è $1
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