Nebbia su approssimazione di McLaurin :)
salve a tutti. Ho questo esercizio e non so da dove cominciare.Ne ho diversi impostati cosi ma punti svolti.
Scrivere l'approssimazione di McLaurin di ordine 2n+2 della funzione sin(x), usarla per calcolare l'approssimazione di ordine 26 della funzione f(x)=sin\$x^5\$ e determinare D^25 f(0).
spero di aver scritto bene
il punto è che lo sviluppo di McLaurin di "sen(x)" lo so, ma non so come usarlo per questo esercizio... se riseco a capire questo probabilmente mi riescono anche gli altri.
Grazie in anticipo
Scrivere l'approssimazione di McLaurin di ordine 2n+2 della funzione sin(x), usarla per calcolare l'approssimazione di ordine 26 della funzione f(x)=sin\$x^5\$ e determinare D^25 f(0).
spero di aver scritto bene
il punto è che lo sviluppo di McLaurin di "sen(x)" lo so, ma non so come usarlo per questo esercizio... se riseco a capire questo probabilmente mi riescono anche gli altri.
Grazie in anticipo
Risposte
Dal momento che e'...
$\sin x = x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120} - ...$ (1)
... sara' ...
$\sin x^{5} = x^{5} - \frac{x^{15}}{6} + \frac{x^{25}}{120} - ...$ (2)
... e dalla (2) si deduce che, ponendo $f(x)= \sin x^{5}$, e'...
$f^{(25)} (0)= \frac{25!}{5!}$ (3)
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
$\sin x = x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120} - ...$ (1)
... sara' ...
$\sin x^{5} = x^{5} - \frac{x^{15}}{6} + \frac{x^{25}}{120} - ...$ (2)
... e dalla (2) si deduce che, ponendo $f(x)= \sin x^{5}$, e'...
$f^{(25)} (0)= \frac{25!}{5!}$ (3)
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
già più chiaro grazie. due cose non capisco:
1) perchè nella richiesta dell'esercizio chiede " approssimazione di McLaurin di ordine 2n+2? se era 2n+1 o ordine n cosa cambiava?
2) perchè torna "25!"? siccome mi chiede di determinare D^25 f(0) guardo x^25/ 5! e gli altri li lascio stare giusto? e 5! = 120 ma il 25! ?
con il fatto che chiede l'approssimazione a di ordine 26 mi fermo a 25 perchè è la più vicina?
1) perchè nella richiesta dell'esercizio chiede " approssimazione di McLaurin di ordine 2n+2? se era 2n+1 o ordine n cosa cambiava?
2) perchè torna "25!"? siccome mi chiede di determinare D^25 f(0) guardo x^25/ 5! e gli altri li lascio stare giusto? e 5! = 120 ma il 25! ?
con il fatto che chiede l'approssimazione a di ordine 26 mi fermo a 25 perchè è la più vicina?
nessuno me lo sa spiegare?? ho un altro esercizio simile:
scrivere l'approssimazione di McLaurin di ordine 2 della funzione 1/(1+x^2), usarla per calcolare l'approssimazione di ordine 6 della funzione f(x)=( 2+x^2)/(1-x^3)^2 e determinare D^5 f(0).
che differenza c'è tra l'approssimazione di ordine n o come prima ordine 2n+2? e perchè viene 25! ?
aiutatemiiiiii grazie
scrivere l'approssimazione di McLaurin di ordine 2 della funzione 1/(1+x^2), usarla per calcolare l'approssimazione di ordine 6 della funzione f(x)=( 2+x^2)/(1-x^3)^2 e determinare D^5 f(0).
che differenza c'è tra l'approssimazione di ordine n o come prima ordine 2n+2? e perchè viene 25! ?
aiutatemiiiiii grazie
Allora, si parte dallo sviluppo in serie...
$\frac{1}{1-\xi} = 1 + \xi + \xi^{2} + \xi^{3} +... $ (1)
... che vale per $|\xi|<1$. Ora abbiamo che ponendo $\xi = 2 x^{3} - x^{6}$ si ha...
$g(x)= \frac {1}{1 - 2 x^{3} + x^{6}} = 1 + 2 x^{3} - x^{6} + 4 x^{6} - 4 x^{9} + x^ {12} +... = 1 + 2 x^{3} + 3 x^{6} +...$ (2)
... e quindi...
$f(x)= \frac{2 + x^{2}}{1 - 2 x^{3} + x^{6}} = 2 + 4 x^{3} + 6 x^{6} + x^{2} + 2 x^{5} + 3 x^{8} + ... = 2 + x^{2} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{6} + ...$ (3)
... e a questo punto il resto e' semplice...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
$\frac{1}{1-\xi} = 1 + \xi + \xi^{2} + \xi^{3} +... $ (1)
... che vale per $|\xi|<1$. Ora abbiamo che ponendo $\xi = 2 x^{3} - x^{6}$ si ha...
$g(x)= \frac {1}{1 - 2 x^{3} + x^{6}} = 1 + 2 x^{3} - x^{6} + 4 x^{6} - 4 x^{9} + x^ {12} +... = 1 + 2 x^{3} + 3 x^{6} +...$ (2)
... e quindi...
$f(x)= \frac{2 + x^{2}}{1 - 2 x^{3} + x^{6}} = 2 + 4 x^{3} + 6 x^{6} + x^{2} + 2 x^{5} + 3 x^{8} + ... = 2 + x^{2} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{6} + ...$ (3)
... e a questo punto il resto e' semplice...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
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