N complessi
Mi serve il vostro aiuto ragazzi....è da un pò che sbatto la testa su diversi esercizi sui numeri complessi, questo in particolare
Qual è l'insieme delle soluzioni di |z+2|z=-i
Ho provato a sostituire a z=a+ib ma mi risulta un'equazione complicatissima che non sono in grado di risolvere!
Quale può essere una via d'uscita?
Grazie
Qual è l'insieme delle soluzioni di |z+2|z=-i
Ho provato a sostituire a z=a+ib ma mi risulta un'equazione complicatissima che non sono in grado di risolvere!
Quale può essere una via d'uscita?
Grazie
Risposte
dovresti trovare il sistema:
${(bsqrt((a+2)^2+b^2)=-1),(asqrt((a+2)^2+b^2)=0):}$
Dalla seconda vale evidentemente a=0, sostituisci nella prima e risolvi rispetto a b.
${(bsqrt((a+2)^2+b^2)=-1),(asqrt((a+2)^2+b^2)=0):}$
Dalla seconda vale evidentemente a=0, sostituisci nella prima e risolvi rispetto a b.
Scusa come hai fatto ad impostare il sistema?
Ho provato a risolverlo e verrebbe $b_(1,2)=-1+-sqrt(5)$
invece il risultato è $-sqrt(sqrt(5)-2)$](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Ho provato a risolverlo e verrebbe $b_(1,2)=-1+-sqrt(5)$
invece il risultato è $-sqrt(sqrt(5)-2)$
Imponi $z=a+ib$, sostituisci nell'equazione iniziale. Poi puoi scrivere 2 equazioni: la prima imponendo eguali le parti immaginarie dei 2 membri, la seconda imponendo eguali le parti reali dei 2 membri.
Sicuramente la quantità $|z+2|$ è reale, dunque affinché il prodotto tra questa quantità e $z$ sia puramente immaginario, occorre che $z$ sia puramente immaginario, dunque $z=jx$, $x in RR$.
Sostituendo risulta: $jxsqrt(x^2+4)=-j => xsqrt(x^2+2)=-1$
Non c'è bisogno di condizioni di esistenza particolari, dato che $x^2+4$ è una quantità sempre positiva.
Risolvi questa semplice equazione, scarta le soluzioni non ammissibili e il gioco è fatto.
Sostituendo risulta: $jxsqrt(x^2+4)=-j => xsqrt(x^2+2)=-1$
Non c'è bisogno di condizioni di esistenza particolari, dato che $x^2+4$ è una quantità sempre positiva.
Risolvi questa semplice equazione, scarta le soluzioni non ammissibili e il gioco è fatto.
Se sostituisco mi viene
$(a^2+b^2+4)(a+ib)=-i$
poi mi verrebbe:
$a^3+a^2ib+ab^2+ib^3+4a+4ib=-i$
ora se $a=0$ ho $a^2ib+ib^3+4ib=-i$
il che è un equazione di 3 grado..e nn riesco a risolverla
$(a^2+b^2+4)(a+ib)=-i$
poi mi verrebbe:
$a^3+a^2ib+ab^2+ib^3+4a+4ib=-i$
ora se $a=0$ ho $a^2ib+ib^3+4ib=-i$
il che è un equazione di 3 grado..e nn riesco a risolverla
Se sostituisco mi viene
$(a^2+b^2+4)(a+ib)=-i$
Non credo... come si calcola |z+2|?
|z+2| è una circonferenza di raggio 2 con centro in -2,0 giusto?
quindi |z+2|= $a^2+b^2+4$
sbaglio?
quindi |z+2|= $a^2+b^2+4$
sbaglio?
"ELWOOD":
sbaglio?
eh, direi
. Come si calcola il modulo di un numero complesso?
che semo!!!manca la radice 
ok ora ho $sqrt(a^2+b^2+4)(a+ib)=-i$
devo svolgere il prodotto?
se sostituisco $a=0$ e $b=-1$
mi ritrovo $sqrt(5)-i=-i$ ma nn va bene!
ok ora ho $sqrt(a^2+b^2+4)(a+ib)=-i$
devo svolgere il prodotto?
se sostituisco $a=0$ e $b=-1$
mi ritrovo $sqrt(5)-i=-i$ ma nn va bene!
non ci siamo, hai ancora sbagliato a calcolare il modulo, ti ricordo che:
$|z|=sqrt(Re(z)^2+Im(z)^2)$
$|z|=sqrt(Re(z)^2+Im(z)^2)$
Ehm... diversi post fa c'è una semplice e chiara soluzione al problema... nessuno se ne è accorto?
$z=a+ib$ $|z|=sqrt(a^2+b^2)$ ma il 2 non fa lo stesso parte della parte reale?
certo, ma il quadrato di una somma non è uguale alla somma dei quadrati.
$Re(z)^2 = (a+2)^2$
$Re(z)^2 = (a+2)^2$
"Kroldar":
Sicuramente la quantità $|z+2|$ è reale, dunque affinché il prodotto tra questa quantità e $z$ sia puramente immaginario, occorre che $z$ sia puramente immaginario, dunque $z=jx$, $x in RR$.
Sostituendo risulta: $jxsqrt(x^2+4)=-j => xsqrt(x^2+2)=-1$
Non c'è bisogno di condizioni di esistenza particolari, dato che $x^2+4$ è una quantità sempre positiva.
Risolvi questa semplice equazione, scarta le soluzioni non ammissibili e il gioco è fatto.
Fila il tuo ragionamento, ma arrivo ugualmente ad un risultato diverso da quello che dovrebbe essere $(-sqrt(sqrt(5)-2))$
Elwood non è possibile che non ti trovi...
Allora, risolviamo l'equazione $xsqrt(x^2+4)=-1$.
Possiamo elevare ambo i membri al quadrato per le considerazioni già fatte, risulta $x^2(x^2+4)=1 => x^4+4x^2-1=0$
Questa è un'equazione biquadratica, poniamo $y=x^2$; ovviamente è $y_1=-sqrt(5)-2$ e $y_2=sqrt(5)-2$
La soluzione $y_1$ va scartata per ovvi motivi, dunque $x^2=sqrt(5)-2$, perciò è $x_1=-sqrt(sqrt(5)-2)$ e $x_2=sqrt(sqrt(5)-2)$
Visto che il coefficiente dell'immaginario di $z$ deve essere negativo per soddisfare la relazione iniziale, allora l'unica soluzione accettabile è $x=-sqrt(sqrt(5)-2)$
Allora, risolviamo l'equazione $xsqrt(x^2+4)=-1$.
Possiamo elevare ambo i membri al quadrato per le considerazioni già fatte, risulta $x^2(x^2+4)=1 => x^4+4x^2-1=0$
Questa è un'equazione biquadratica, poniamo $y=x^2$; ovviamente è $y_1=-sqrt(5)-2$ e $y_2=sqrt(5)-2$
La soluzione $y_1$ va scartata per ovvi motivi, dunque $x^2=sqrt(5)-2$, perciò è $x_1=-sqrt(sqrt(5)-2)$ e $x_2=sqrt(sqrt(5)-2)$
Visto che il coefficiente dell'immaginario di $z$ deve essere negativo per soddisfare la relazione iniziale, allora l'unica soluzione accettabile è $x=-sqrt(sqrt(5)-2)$
allora siamo d'accordo che sostituendo otteniamo
$sqrt((a+2)^2+b^2)(a+ib)=-i$
se a=0 ho $sqrt(b^2+4)=-i$
e troverei $b=sqrt(5)$
ma nn va bene!
$sqrt((a+2)^2+b^2)(a+ib)=-i$
se a=0 ho $sqrt(b^2+4)=-i$
e troverei $b=sqrt(5)$
ma nn va bene!
Perfect!
Grazie mille ragazzi......che frana con sti complessi!
un consiglio....quando vi sono degli esercizi del genere bisogna sempre in qualunque caso impostare un sistema e risalire all'incognita risolvendo le equazioni?
Grazie mille ragazzi......che frana con sti complessi!
un consiglio....quando vi sono degli esercizi del genere bisogna sempre in qualunque caso impostare un sistema e risalire all'incognita risolvendo le equazioni?
Credo che non esista una regola precisa... certo il sistema è un metodo generale, però credo che di volta in volta vadano fatte opportune considerazioni (come in questo caso ad esempio) per risparmiare diversi calcoli... non abbiamo risolto alcun sistema questa volta semplicemente notando che $z$ doveva necessariamente essere un numero complesso puramente immaginario a coefficiente negativo.
Infatti molte volte impostando il sistema mi trovo di fronte ad un'equazione molto complessa(stranamente) come ad es in questo caso |z+1|z=a-ib (z coniugato)
.....ho capito!ci metterò na pietra sopra a questi benedetti numeri complessi!
Grazie ancora
.....ho capito!ci metterò na pietra sopra a questi benedetti numeri complessi!
Grazie ancora
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