Multipath fading function
Stavo studiando il multipath fading e ho trovato questo: partendo dalla formula
$$cos(ωt)+cos(ωt+ϕ)=2cos(ϕ/2)cos(ωt+ϕ/2)$$
Disegnate la funzione per i valori:
$$ϕ=0,ϕ=π/2,ϕ=π.$$
Il mio problema è che non ho nessuna nozione matematica di questo genere e anche un aiuto a capire di che funzione si tratta o come va risolta mi sarebbe di grande aiuto.
$$cos(ωt)+cos(ωt+ϕ)=2cos(ϕ/2)cos(ωt+ϕ/2)$$
Disegnate la funzione per i valori:
$$ϕ=0,ϕ=π/2,ϕ=π.$$
Il mio problema è che non ho nessuna nozione matematica di questo genere e anche un aiuto a capire di che funzione si tratta o come va risolta mi sarebbe di grande aiuto.
Risposte
Immagino tu intenda disegnare quell'espressione in funzione di $t$, giusto?
Nel caso, comincia a disegnare $\cos(\omega t+\varphi/2)$ che è un semplice coseno sfasato con frequenza $\omega$, poi moltiplicalo per $2\cos\ \varphi/2 $ che è una costante, e pure facile da calcolare per quei tre valori.
Nel caso, comincia a disegnare $\cos(\omega t+\varphi/2)$ che è un semplice coseno sfasato con frequenza $\omega$, poi moltiplicalo per $2\cos\ \varphi/2 $ che è una costante, e pure facile da calcolare per quei tre valori.
Si è quello che intendo.Sapresti indicarmi dove potrei trovare un esempio concreto per capire come disegnare questa funzione?
Sono veramente ignorante in materia, ad esempio la frequenza che valori dovrebbe assumere? Il problema che ho trovato specifica solo i valori che ho scritto sopra
Per rendere l' idea dovrebbe uscirmi un grafico del genere: https://dl.dropboxusercontent.com/u/652 ... nnamed.jpg ma con differenti valori
Sono veramente ignorante in materia, ad esempio la frequenza che valori dovrebbe assumere? Il problema che ho trovato specifica solo i valori che ho scritto sopra
Per rendere l' idea dovrebbe uscirmi un grafico del genere: https://dl.dropboxusercontent.com/u/652 ... nnamed.jpg ma con differenti valori
Non saprei dove indirizzarti ad esempi concreti, però per disegnare una funzione che, come questa, è composizione di funzioni elementari, il metodo è quasi sempre lo stesso.
Qui, ad esempio,
- parti dalla funzione $\cos t$, che è facile da disegnare.
- passi da $\cos t$ a $\cos(\omega t)$, cioè con la trasformazione $t\mapsto \omega t$. La frequenza angolare è solo un parametro che non sai, quindi non assegnare valori a caso: ricorda soltanto che se $\cos x$ è periodico di $2\pi$, allora $\cos(\omega t)$ è periodico di $2\pi/\omega$. Dovrai in pratica "dilatare" o "contrarre" lungo l'asse delle ascisse la tua funzione in base a questo parametro.
- effettua quindi la traslazione $\omega t\mapsto \omega t+\varphi/2$, ossia una traslazione lungo le ascisse a sinistra di $\varphi/2$. Oppure, più semplicemente, trasla il grafico tenendo conto che per $t=0$ avrai $f(0)=\cos\ \varphi/2$ e non più $f(0)=1$: occhio comunque che in questo modo hai due possibilità, quindi scegli quella corretta guardando che valore assume in un altro punto "comodo", ad esempio valutando dove $f(t)$ vale $1$.
- infine moltiplica per $2\cos\ \varphi/2$.
Dovrai ottenere tra grafici, uno per ciascun valore di $\varphi$ dato.
In ogni caso puoi anche solo disegnare la funzione solo lungo un periodo.
Qui, ad esempio,
- parti dalla funzione $\cos t$, che è facile da disegnare.
- passi da $\cos t$ a $\cos(\omega t)$, cioè con la trasformazione $t\mapsto \omega t$. La frequenza angolare è solo un parametro che non sai, quindi non assegnare valori a caso: ricorda soltanto che se $\cos x$ è periodico di $2\pi$, allora $\cos(\omega t)$ è periodico di $2\pi/\omega$. Dovrai in pratica "dilatare" o "contrarre" lungo l'asse delle ascisse la tua funzione in base a questo parametro.
- effettua quindi la traslazione $\omega t\mapsto \omega t+\varphi/2$, ossia una traslazione lungo le ascisse a sinistra di $\varphi/2$. Oppure, più semplicemente, trasla il grafico tenendo conto che per $t=0$ avrai $f(0)=\cos\ \varphi/2$ e non più $f(0)=1$: occhio comunque che in questo modo hai due possibilità, quindi scegli quella corretta guardando che valore assume in un altro punto "comodo", ad esempio valutando dove $f(t)$ vale $1$.
- infine moltiplica per $2\cos\ \varphi/2$.
Dovrai ottenere tra grafici, uno per ciascun valore di $\varphi$ dato.
In ogni caso puoi anche solo disegnare la funzione solo lungo un periodo.
Sono riuscito a risolvere. Ti ringrazio per il tempo dedicato
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