Mostrare l'iniettività di una funzione olomorfa
Ho la funzione $g:D_1(0)->CC$ definita da $g(z)=z/(1-z)^2$ e devo dimostrare che è un biolomorfismo di immagine $CC-(-oo,-1/4]$.
Per prima cosa sto cercando di mostrare che è iniettiva, ma mi trovo un po' in difficoltà. So che un modo per trovare il numero di zeri di $g(z)-w$ per $winCC$ è calcolare l'integrale di $(g'(z))/(g(z)-w)$ sul bordo del dominio, ma in questo caso mi sembrano conti un po' brutti.
Ci sono altre tecniche standard? C'è qualcosa di evidente che mi perdo?
Grazie in anticipo.
Per prima cosa sto cercando di mostrare che è iniettiva, ma mi trovo un po' in difficoltà. So che un modo per trovare il numero di zeri di $g(z)-w$ per $winCC$ è calcolare l'integrale di $(g'(z))/(g(z)-w)$ sul bordo del dominio, ma in questo caso mi sembrano conti un po' brutti.
Ci sono altre tecniche standard? C'è qualcosa di evidente che mi perdo?
Grazie in anticipo.
Risposte
Che cosa intendi con la notazione $D_1(0)$?
Probabilmente, sarà il disco aperto di raggio 1 centrato nell'origine: $D_1(0)=\{z \in \mathbb C : |z|<1\}$.
Per \(w\in \mathbb{C}\), l'equazione \(g(z)=w\) è risolvibile "a mano"; pertanto si può determinare esplicitamente l'assegnazione che definisce \(g^{-1}(w)\).
Ovviamente (e qui faccio un educated guess), data la presenza di un quadrato in \(g\), mi aspetto che la \(g^{-1}\) "contenga" almeno una radice e, perciò, che essa sia polidroma con almeno due determinazioni monodrome olomorfe.
Se ciò effettivamente accade, come è noto, è possibile determinare ogni determinazione monodroma della \(g^{-1}\) "tagliando" il piano complesso in modo opportuno (e.g. eliminando una semiretta).
Ora, si potrebbe terminare l'esercizio facendo vedere che:
1. il taglio lungo la semiretta \(]-\infty , -1/4]\) individua una determinazione monodroma olomorfa di \(g^{-1}\)
2. \(|g^{-1}(w)|<1\) per ogni \(w\in \mathbb{C}\setminus ]-\infty ,-1/4]\), sicché la determinazione monodroma di \(g^{-1}\) individuata dal taglio lungo \(]-\infty ,-1/4]\) mappa \(\mathbb{C}\setminus ]-\infty ,-1/4]\) in \(D_1(0)\).
Infatti, la 1 assicura che \(g^{-1}\) è una funzione olomorfa in \(\mathbb{C}\setminus ]-\infty ,-1/4]\), mentre la 2 che \(g^{-1}(\mathbb{C}\setminus ]-\infty ,-1/4]) =D_1(0)\).
D'altra parte, \(g\) è olomorfa in \(D_1(0)\) ed, essendo \(g^{-1}\) un inversa di \(g\), \(g\) è invertibile e porta \(D_1(0)\) in \(\mathbb{C}\setminus ]-\infty ,-1/4]\).
Essendo \(g,\ g^{-1}\) olomorfe, l'esercizio è bello e finito.
Ovviamente (e qui faccio un educated guess), data la presenza di un quadrato in \(g\), mi aspetto che la \(g^{-1}\) "contenga" almeno una radice e, perciò, che essa sia polidroma con almeno due determinazioni monodrome olomorfe.
Se ciò effettivamente accade, come è noto, è possibile determinare ogni determinazione monodroma della \(g^{-1}\) "tagliando" il piano complesso in modo opportuno (e.g. eliminando una semiretta).
Ora, si potrebbe terminare l'esercizio facendo vedere che:
1. il taglio lungo la semiretta \(]-\infty , -1/4]\) individua una determinazione monodroma olomorfa di \(g^{-1}\)
2. \(|g^{-1}(w)|<1\) per ogni \(w\in \mathbb{C}\setminus ]-\infty ,-1/4]\), sicché la determinazione monodroma di \(g^{-1}\) individuata dal taglio lungo \(]-\infty ,-1/4]\) mappa \(\mathbb{C}\setminus ]-\infty ,-1/4]\) in \(D_1(0)\).
Infatti, la 1 assicura che \(g^{-1}\) è una funzione olomorfa in \(\mathbb{C}\setminus ]-\infty ,-1/4]\), mentre la 2 che \(g^{-1}(\mathbb{C}\setminus ]-\infty ,-1/4]) =D_1(0)\).
D'altra parte, \(g\) è olomorfa in \(D_1(0)\) ed, essendo \(g^{-1}\) un inversa di \(g\), \(g\) è invertibile e porta \(D_1(0)\) in \(\mathbb{C}\setminus ]-\infty ,-1/4]\).
Essendo \(g,\ g^{-1}\) olomorfe, l'esercizio è bello e finito.
"Paolo90":
Probabilmente, sarà il disco aperto di raggio 1 centrato nell'origine: $D_1(0)=\{z \in \mathbb C : |z|<1\}$.
Sì, l'avevo aggiunto ma poi ho cancellato perché appesantiva la lettura, sperando si capisse.
"gugo82":
Per \(w\in \mathbb{C}\), l'equazione \(g(z)=w\) è risolvibile "a mano"; pertanto si può determinare esplicitamente l'assegnazione che definisce \(g^{-1}(w)\).
Ecco appunto sono un idiota.
Su tutto il resto adesso ci penso e vedo se riesco a concludere! Son cose su cui non ho grandissimi automatismi, tra l'altro ho seguito il corso in Francia dove non amano sporcarsi le mani con robaccia tipo le "funzioni polidrome" e al massimo è stato citato il problema dello scegliere una determinazione per l'argomento o il logaritmo.
Grazie!
Grazie anche all'aiuto di uno studente più grande penso di aver capito un po' meglio.
Provo a formalizzare.
1) La funzione $g(z)=z/(1-z)^2$ (intesa come mappa tra sfere di Riemann, in cui trattero' i calcoli con l'infinito in modo un po' naïf) invia la circonferenza unitaria sulla semiretta ${oo}uu(-oo,1/4]$.
In effetti
$g(e^(itheta))=e^(itheta)/(1-e^(itheta))^2=e^(itheta)/(2ie^(-i1/2theta)*(e^(i1/2theta)-e^(-i1/2theta))/(2i))^2=e^(itheta)/(2ie^(-i1/2theta)sin(theta/2))^2=-1/(4sin^2(theta/2))$
e da qui è chiaro.
2) Invertendo esplicitamente $w=z/(1-z)^2$ troviamo $z=(1+2w+-sqrt(1+4w))/(2w)$.
Se vogliamo che questa inversa sia una funzione olomorfa e monodroma dobbiamo:
(a) tagliare una semiretta partente da $0$ dall'insieme di definizione della radice;
(b) scegliere il segno $+$ o $-$.
Il buon modo di fare queste due scelte è:
(a) tagliare la semiretta reale negativa, poiché $1+4w$ vi appartiene se e solo se $win{oo}uu(-oo,1/4]$, che è l'immagine del nostro disco;
(b) prendere il segno $-$ perché vogliamo che lo $0$ sia inviato in $0$.
3) A questo punto abbiamo un'inversa olomorfa $g^(-1)$ definita su $CC-(-oo,1/4]$. La sua immagine è contenuta nel disco unitario, poiché il bordo di quest'ultimo è inviato da $g$ fuori dal dominio.
Adesso per concludere manca solo un piccolo argomento per mostrare che l'immagine di $g^(-1)$ è davvero tutto il disco, e forse la maniera migliore di farlo è considerare anche l'inversa col segno $+$. Quest'ultima per motivi analoghi invia $CC-(-oo,1/4]$ in $CC-\bar(D_1(0))$, e siccome l'unione di queste due immagini deve contenere $CC-S^1$, abbiamo concluso.
Che dite?
PS: finalmente quest'estate saro' obbligato a imparare il LaTeX per la tesi triennale, non ne posso più di questo ASCIIMathML.
Provo a formalizzare.
1) La funzione $g(z)=z/(1-z)^2$ (intesa come mappa tra sfere di Riemann, in cui trattero' i calcoli con l'infinito in modo un po' naïf) invia la circonferenza unitaria sulla semiretta ${oo}uu(-oo,1/4]$.
In effetti
$g(e^(itheta))=e^(itheta)/(1-e^(itheta))^2=e^(itheta)/(2ie^(-i1/2theta)*(e^(i1/2theta)-e^(-i1/2theta))/(2i))^2=e^(itheta)/(2ie^(-i1/2theta)sin(theta/2))^2=-1/(4sin^2(theta/2))$
e da qui è chiaro.
2) Invertendo esplicitamente $w=z/(1-z)^2$ troviamo $z=(1+2w+-sqrt(1+4w))/(2w)$.
Se vogliamo che questa inversa sia una funzione olomorfa e monodroma dobbiamo:
(a) tagliare una semiretta partente da $0$ dall'insieme di definizione della radice;
(b) scegliere il segno $+$ o $-$.
Il buon modo di fare queste due scelte è:
(a) tagliare la semiretta reale negativa, poiché $1+4w$ vi appartiene se e solo se $win{oo}uu(-oo,1/4]$, che è l'immagine del nostro disco;
(b) prendere il segno $-$ perché vogliamo che lo $0$ sia inviato in $0$.
3) A questo punto abbiamo un'inversa olomorfa $g^(-1)$ definita su $CC-(-oo,1/4]$. La sua immagine è contenuta nel disco unitario, poiché il bordo di quest'ultimo è inviato da $g$ fuori dal dominio.
Adesso per concludere manca solo un piccolo argomento per mostrare che l'immagine di $g^(-1)$ è davvero tutto il disco, e forse la maniera migliore di farlo è considerare anche l'inversa col segno $+$. Quest'ultima per motivi analoghi invia $CC-(-oo,1/4]$ in $CC-\bar(D_1(0))$, e siccome l'unione di queste due immagini deve contenere $CC-S^1$, abbiamo concluso.
Che dite?
PS: finalmente quest'estate saro' obbligato a imparare il LaTeX per la tesi triennale, non ne posso più di questo ASCIIMathML.
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