Monotonicità e convessità

[mobley]

Non capisco perchè, data una famiglia di funzioni monotone descrenti e convesse ${g_t}$, allora $g:=Sup_(t)(g_(t)) $ è anch'essa monotona decrescente e convessa. Ovviamente una funzione monotona decrescente e convessa è tale che $\forall a<=brArr g(a)>=g(b)$ e $|g(a)-g(b)|/(|a-b|) Credo che in fin dei conti la risposta sia banale: se $g\in {g_t}$ insieme di funzioni monotone e convesse, ed è in particolare la funzione che nel suo insieme che associa a $t$ il valore maggiore, dovrà per forza monotona e convessa anch'essa. Tuttavia mi sembra fin troppo banale

[Bremen000]

Mah, si mi sembra che la questione sia molto semplice. Diciamo che le tue \( g_t : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \). Allora prendi \( a, b \in \mathbb{R} \) t.c. \( a \le b\). Allora, per monotonia delle \( g_t \) hai, per ogni \( t \in T \), che
\[ g_t(a) \ge g_t(b) \]
e passando al \( \sup \) su \( t \in T \) ottieni
\[ g(a) = \sup_t g_t(a) \ge \sup_t g_t(b) = g(b) \]

Per la convessità invece, prendiamo \( a, b \in \mathbb{R} \). Allora, per convessità delle \( g_t \) hai, per ogni \( t \in T \) e \( s \in [0,1] \), che
\[ g_t( sa + (1-s)b) \le sg_t(a) + (1-s)g_t(b) \]
e passando al al \( \sup \) su \( t \in T \) ottieni
\begin{align*}
g(sa + (1-s)b) &= \sup_t g_t( sa + (1-s)b) \\
& \le \sup_t \bigl [ sg_t(a) + (1-s)g_t(b) \bigr ] \\
& \le s \sup_t g(a) + (1-s) \sup_t g_t(b) \\
&= s g(a) + (1-s)g(b) \\
\end{align*}

Nulla cambia se, invece di avere \( g_t : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), hai $g_t : A \to \mathbb{R}$ dove $A$ è uno spazio vettoriale o un sottoinsieme convesso di uno spazio vettoriale. Se $A$ non è un sottoinsieme di $\mathbb{R}$ chiaramente non ha senso parlare di monotonia.