Monotonia serie

[lepre561]

$\sum_{n=1}^infty (-1)^n(n/(n^2-logn))$

se mi ritrovo con questa serie e per il criterio del leibiniz devo dire che è convergente...devo dire che la serie è descrescente

Che la successione decresce è ovvio perchè se sostituisco prima $n=2,n=3,...$ ottengo de valori sempre più piccoli.

Ma il mio dubbio è questo, va bene come ho dimostrato e bisogna usare un dimostrazione magari più rigorosa?

[Mephlip]

Beh, non è una dimostrazione; anche perché a te interessa che sia definitivamente decrescente, perciò sostituendo un po' di valori in generale non puoi sapere se da un certo punto in poi torna a crescere.
Certo sostituendone qualcuno e osservando la successione si può avere un'idea intuitiva della monotonia, quindi proviamo a renderlo rigoroso. Hai provato a considerare la funzione $f(x)=\frac{x}{x^2- \ln x}$ e a derivarla?

[Bokonon]

Perchè la successione decresca, il termine n-esimo deve sempre essere maggiore del termine successivo.
$(-1)^n(n/(n^2-log(n)))>(-1)^(n+1)((n+1)/((n+1)^2-log(n+1)))$
$(n/(n^2-log(n)))+((n+1)/((n+1)^2-log(n+1)))>0$
Questa relazione è sempre vera per ogni $n>=1$ perchè sia i numeratori che i denominatori sono positivi (è facile dimostrare che $n^2>log(n)$).

[lepre561]

"Mephlip":Beh, non è una dimostrazione; anche perché a te interessa che sia definitivamente decrescente, perciò sostituendo un po' di valori in generale non puoi sapere se da un certo punto in poi torna a crescere.
Certo sostituendone qualcuno e osservando la successione si può avere un'idea intuitiva della monotonia, quindi proviamo a renderlo rigoroso. Hai provato a considerare la funzione $f(x)=\frac{x}{x^2- \ln x}$ e a derivarla?

derivando salvo errori mi viene $-((x^2+lnx-1)/(x^2-lnx)^2)$ che essendo sempre negativo è sempre descrescente...giusto?

[Mephlip]

La derivata è corretta, ma non è sempre negativa. Però è negativa dove ci interessa, e questo va dimostrato. Idee?
Alternativamente, puoi seguire il suggerimento dato da Bokonon, anche se mi sembra di ricordare che vada studiata solo la monotonia di $a_n$, senza considerare $(-1)^n$. Mi ricordo male, @Bokonon?

[anto_zoolander]

Se ponete $f(x)=x^2+log(x)-1$ si ha $f’(x)=2x+1/x$ Che è chiaramente positiva per $xgeq1$ quindi $f$ è crescente strettamente in $[1,+infty)$ quindi

$min_(x in[0,+infty))f=f(1)=0$

Essendo $max(-f)=-min(f)=0$ allora $(-f)(x)=-[x^2+log(x)-1]$ è sempre negativa su tutto $[1,+infty)$

[Mephlip]

@anto_zoolander esattamente il mio stesso approccio! Volevo giusto evidenziare che, da funzione a successione, andava considerata la restrizione sui naturali e dunque non importava che per $x \in [0,1)$ il numeratore non fosse negativo essendo $n \geq 1$

[Bokonon]

"Mephlip":
Alternativamente, puoi seguire il suggerimento dato da Bokonon, anche se mi sembra di ricordare che vada studiata solo la monotonia di $a_n$, senza considerare $(-1)^n$. Mi ricordo male, @Bokonon?

Vado a memoria ma mi pare che il test del rapporto per le serie a segni alterni sia per lo studio della convergenza assoluta.
Lepre561 chiedeva il criterio di Leibnitz (che mi pare dimostri solo la convergenza semplice) e dalla domanda circostanziata che ha posto ho dedotto che abbia già valutato due condizioni su 3 e si chiedeva come dimostrare l'ultima.

P.S. Errata Corrige: sono solo due le condizioni del criterio di Leibnitz, non 3.
1) $ lim_(n -> oo ) a_n =0 $
2) $a_n>a_(n+1)$