Monotonia limite succesionali

[Aletzunny1]

Sia ${x_n}$ e ${y_n}$ due successioni tali che $x_n <= y_n$ definitivamente e $x_n->k$ e $y_n->p$ allora $k <= p$

Devo dimostrare questo fatto ma non riesco:
Scrivo la definizione di limite :

Poiché $x_n->k$ allora dato $epsilon >0$ esiste $N'$ tale che $AA n>=N'$ $k-epsilon
Poiché $y_n->k$ allora dato $epsilon' >0$ esiste $N''$ tale che $AA n>=N''$ $p-epsilon'
Allora preso $N=max{N',N''}$ $AA n>=N$ si ha che $x_n
Ora però come dimostro che $k<=p$?
Grazie

[Mephlip]

$\varepsilon>0$ ed $\varepsilon'>0$ sono arbitrari, quindi la stima $k+\varepsilon<=p-\varepsilon'$ vale anche al limite per $\varepsilon \to 0^+$ ed $\varepsilon' \to 0^+$.

[Aletzunny1]

"Mephlip":$\varepsilon>0$ ed $\varepsilon'>0$ sono arbitrari, quindi la stima $k+\varepsilon<=p-\varepsilon'$ vale anche al limite per $\varepsilon \to 0^+$ ed $\varepsilon' \to 0^+$.

Cioè dunque avrei finito così la dimostrazione correttamente?

Oppure esiste anche un modo più corretto?

[Mephlip]

Sì, bastava commentare quest'ultimo dettaglio sull'arbitrarietà di $\varepsilon$ ed $\varepsilon'$; comunque la locuzione "dimostrazione più corretta" non esiste, al massimo può essere più elegante, più succinta, più farraginosa, ma se è corretta è corretta

[Aletzunny1]

"Mephlip":Sì, bastava commentare quest'ultimo dettaglio sull'arbitrarietà di $\varepsilon$ ed $\varepsilon'$; comunque la locuzione "dimostrazione più corretta" non esiste, al massimo può essere più elegante, più succinta, più farraginosa, ma se è corretta è corretta

Si si hai ragione...con "più corretta" nella mia mente intendevo "più formale" e "piacevole"

[gugo82]

Innanzitutto, la deduzione corretta non è che $k+epsilon <= p - epsilon'$, ma che $k-epsilon < p+ epsilon'$... Poi, per arbitrarietà, puoi scegliere $epsilon' = epsilon$ ed $epsilon/2$ al posto di $epsilon$, di modo che la stima corretta si scrive $k-epsilon/2 < p + epsilon/2 => k < p + epsilon$; per arbitrarietà di $epsilon$ l'ultima disuguaglianza implica $k<= p$.

Ma comunque questa dimostrazione può essere semplificata e scritta in mezza riga.

Dim.: Basta applicare l'Inverso del Teorema di Permanenza del Segno alla successione di termine generale $y_n-x_n$. $\square$

[Aletzunny1]

"gugo82":Innanzitutto, la deduzione corretta non è che $k+epsilon <= p - epsilon'$, ma che $k-epsilon < p+ epsilon'$... Poi, per arbitrarietà, puoi scegliere $epsilon' = epsilon$ ed $epsilon/2$ al posto di $epsilon$, di modo che la stima corretta si scrive $k-epsilon/2 < p + epsilon/2 => k < p + epsilon$; per arbitrarietà di $epsilon$ l'ultima disuguaglianza implica $k<= p$.

Perchè da $<$ si passa a $<=$ ?
Non capisco quest'ultimo passaggio

[Mephlip]

"gugo82":Innanzitutto, la deduzione corretta non è che $k+epsilon <= p - epsilon'$, ma che $k-epsilon < p+ epsilon'$...

Giusto, scusa per la svista @Aletzunny!

[gugo82]

Perché da $AA epsilon > 0, k p\), ossia $k<=p$.
Dimostralo.

[Aletzunny1]

"gugo82":Perché da $AA epsilon > 0, k p\), ossia $k<=p$.
Dimostralo.

Grazie.

Ora provo...presumo un ragionamento per assurdo