Monotonia funzione integrale

[vivi996]

Buonasera, non capisco come svolgere l'esercizio :
$\int_{1}^{x}(sin(t^2-t)-tlog|t|)/(log(|t^2-1|)-t^2)dt$
In cui mi chiede nella restrizione di f da $(2,+infty)$ se è monotona.
So che essa è la derivata della funzione integrale quindi dovrei porla maggiore di 0,ma non riesco a fare i passaggi analitici :
$sin(t^2-t)-tlog|t|>0$

[liberatorimatteo]

Non si capisce bene chi sia $f$... suppongo che tu debba studiare la funzione

$F(x):=\int_{1}^{x}(sin(t^2-t)-tlog|t|)/(log(|t^2-1|)-t^2)dt $

Chiaramente essa è monotona in $(2,+\infty)$ se

$f(x):=F'(x)=(sin(x^2-x)-xlog|x|)/(log(|x^2-1|)-x^2)$

ha segno costante in $(2,+\infty)$. Osserviamo che $xln(x)$ è crescente in tale intervallo e quindi $xln(x)>2ln(2)$. Inoltre sappiamo che il seno è limitato superiormente da 1, perciò si ha

$sin(x^2-x)-xlog|x|
Inoltre sia $D(x)=log(x^2-1)-x^2$ quindi $D'(x)=(2x)/(x^2-1)-2x=2x(1/(x^2-1)-1)$. Ora è facile verificare che se $x>sqrt(2)$ allora $D'(x)<0$ e perciò $D(x)$ è decrescente. Ora basta osservare che $D(2)=ln(3)-4<0$ perciò in $(2,+oo)$ si ha $D(x)<0$

Ciò vuol dire che $f(x)$ essendo il rapporto tra due cose negative è positiva in $(2,+oo)$ e ciò prova quanto richiesto

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[vivi996]

Ma perchè hai maggiorato con $1-2ln2$ cioè $xlnx$ non è maggiore di $2ln2$? Perchè ora la usi come maggiorazione?

[otta96]

Ha fatto in quel modo perché $xlnx>2ln2=>-xlnx<-2ln2$, inoltre l'$1$ che c'è è dovuto al seno (anche se, tecnicamente, in quel passaggio ci vorrebbe un $<=$ invece che un $<$).

[liberatorimatteo]

"otta96":Ha fatto in quel modo perché $xlnx>2ln2=>-2ln2<-xlnx$, inoltre l'$1$ che c'è è dovuto al seno (anche se, tecnicamente, in quel passaggio ci vorrebbe un $<=$ invece che un $<$).

Sisi ovviamente, la mia è stata un svista... Un po' come la tua xD
infatti $xlnx>2ln2$ implica $-2ln2>(-xlnx)$ e non $-2ln2<-xlnx$

[otta96]

Hai ragione, ho cambiato un po' troppe cose tutte insieme , ora correggo.