Monotonia e concavità
Ciao a tutti, ho provato a svolgere un esercizio che dovrebbe essere abbastanza semplice, ma non mi viene e proprio non riesco a capire come mai 
Dimostrare che la funzione $ e^x*(1-senx) $ strettamente decrescente e concava in $ (0, pi/2) $.
L'ho svolto così:
Calcolo derivata prima e seconda
$ f^{\prime}(x)=e^x(1-sinx)-e^xcosx=e^x(1-senx-cosx) $
$ f^('')(x)=e^x(1-senx-cosx)+e^x(-cosx+senx)=e^x(1-2cosx) $
Studio il segno della derivata prima e svolgendo i calcoli risulta che $ e^x(1-senx-cosx)<0 AA x in (0, pi/2) $ e quindi ho dimostrato che f è strettamente decrescente.
Non riesco però a dimostrare che è concava!
Ho posto $ e^x(1-2cosx)<0 $, cioè $ (1-2cosx)<0 $, dal momento che $ e^x $ è sempre positiva.
Quindi avrei $ cosx>1/2 $ che è verificata, se non sbaglio, per $ x in (o, pi/3) $. Quindi non mi risulta concava in $ (0, pi/2) $.
Sapreste dirmi cosa sbaglio?
Dimostrare che la funzione $ e^x*(1-senx) $ strettamente decrescente e concava in $ (0, pi/2) $.
L'ho svolto così:
Calcolo derivata prima e seconda
$ f^{\prime}(x)=e^x(1-sinx)-e^xcosx=e^x(1-senx-cosx) $
$ f^('')(x)=e^x(1-senx-cosx)+e^x(-cosx+senx)=e^x(1-2cosx) $
Studio il segno della derivata prima e svolgendo i calcoli risulta che $ e^x(1-senx-cosx)<0 AA x in (0, pi/2) $ e quindi ho dimostrato che f è strettamente decrescente.
Non riesco però a dimostrare che è concava!
Ho posto $ e^x(1-2cosx)<0 $, cioè $ (1-2cosx)<0 $, dal momento che $ e^x $ è sempre positiva.
Quindi avrei $ cosx>1/2 $ che è verificata, se non sbaglio, per $ x in (o, pi/3) $. Quindi non mi risulta concava in $ (0, pi/2) $.
Sapreste dirmi cosa sbaglio?
Risposte
Niente... Infatti quella roba lì non è convessa né concava in tutto $[0,pi/2]$.
Ah ecco, mi sembrava strano... allora sarà sbagliato il testo
Grazie mille!!
Grazie mille!!
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