Monotonia di una successione ricorsiva e limite

[lore961]

Il testo dell'esercizio è il seguente
{a1=1 a(n+1)=1-4/a(n)
Per prima cosa ho trovato i punti fissi che sono 2+-(3)^(1/2).
Dopo ho provato a dimostrare che la successione è crescente . Ho proceduto così : ho studiato la derivata prima della funzione associata ed essa risultava sempre maggiore di 0 , quindi la successione è strettamente crescente . La procedura è corretta ?
In alternativa avevo provato con l'induzione a(n) Concludo quindi dicendo che la successione è chiaramente limitata superiormente da 4 e quindi il limite cercato non può che essere 2+sqrt(3).
Premetto che non ho voluto usare l'invarianza intenzionalmente .

[Luca.Lussardi]

Non so cosa intendi per "invarianza", invarianza di cosa? Il ragionamento della derivata non funziona, bisogna procedere per induzione come hai accennato.

[lore961]

La mia definizione di invarianza è questà :
Un insieme A si dice essere invariante
per f se f(A) ⊆ A.
Per quanto riguarda l'induzione lo svolgimento e le considerazioni fatte sono corrette ?

[Luca.Lussardi]

L'induzione e' probabilmente la tecnica piu' idonea, ma il problema e' che in questo esempio $a_n$ non viene monotona, se fai il classico disegno dell'iterazione di punto fisso lo vedi subito. Forse devi dimostrare che e' di Cauchy, e' comunque facile (penso) vedere che viene limitata quindi almeno un'estratta convergente l'ha.

[lore961]

Si,dal disegno ma anche dai calcoli si nota che non è sempre crescente ma fra i punti fissi si . Io posso affermare siccome a1 appartiene a questo intervallo , la mia successione tende al punto fisso maggiore ?

[Luca.Lussardi]

Sara' vero ma va dimostrato.