Monotonia di f

[Kashaman]

Esercizio : Sia $f : RR->RR$ $f(x)=-x^3$ mostrare che è decrescente.
svolgimento :
Devo provare che $AA x in RR : x f(x) >=f(y)$
Siano $x,y in RR$ è equivalente provare che $f(x) x>y$. per ogni $x,y$
ho che $f(x) -x^3 <-y^3 => x^3>y^3 => (x-y)(x^2+xy+y^2)>0$
ora il secondo termine è sicuramente maggiore di $0$, infatti $x^2+xy+y^2>=x^2+y^2>0$ , quindi non può che essere $x-y>0 => x>y$ la tesi. Che ne dite?

[Rigel1]

"Kashaman": infatti $x^2+xy+y^2>=x^2+y^2>0$

Qui ci sono un errore e una imprecisione.

Errore: \(x^2+xy+y^2\geq x^2+y^2\).
Nessuno ti garantisce che \(xy\geq 0\). Usando la disuguaglianza \(|xy|\leq (x^2+y^2)/2\) puoi comunque dire che \(x^2+xy+y^2\geq (x^2+y^2)/2\).

Imprecisione: \(x^2+y^2 > 0\).
Questa vale purché \(x\) e \(y\) non siano entrambi nulli, cosa che nel tuo caso è certamente verificata dal momento che \(x\neq y\).

[Kashaman]

ciao rigel, grazie del commento. Sei stato molto chiaro. Una cosa però.
Da dove si ricava che se $x,y in R : |xy|<=(x^2+y^2)/2$? potresti fornirmi una breve dimostrazione?
grazie

[Rigel1]

\( 0 \leq (|x| - |y|)^2 = x^2 - 2|xy| + y^2\), da cui ricavi \(2|xy| \leq x^2+y^2\).

[Kashaman]

grazie rigel molto chiaro