Monotonia della reciproca di una funzione

[m.quattro]

Salve a tutti ragazzi,
Ho bisogno di un confronto su una mia supposizione (dal momento che non riesco a trovare la teoria da nessuna parte).
Cosa succede alla monotonia di una funzione reciproca rispetto alla funzione di partenza?
Nel senso: se f(x) è crescente (decrescente) si può dire qualcosa a priori sulla monotonia di 1/f(x)?

A mio parere dovrebbe invertirsi, vi spiego:
La derivata di una funzione esprime la sua monotonia.
Supponiamo che f'(x) sia positiva (e quindi f(x) crescente).
Di conseguenza la derivata di 1/f(x) sarà uguale a -f'(x) / f(x)^2.
Quindi la derivata della reciproca ha per definizione il meno davanti.
Il meno davanti alla funzione ne "ribalta" il grafico rispetto all'asse x per cui inverte tutte le monotonie.
In conclusione:
Da ciò posso quindi dedurre che il reciproco di una funzione ha monotonia invertita rispetto a quella di partenza?

[Zero87]

Se riordini quanto detto utilizzando un po' più di eleganza - matematica - dimostri in maniera chic che se il denominatore di una frazione aumenta il valore complessivo della frazione diminuisce (ovviamente a parità di numeratore e supponendo che stiamo parlando di termini positive).

Comunque sì, il tuo ragionamento è ok.

[gugo82]

Mmm... In generale non si può dire nulla.

Ad esempio, il reciproco della funzione \(f(x):=x\), la quale è globalmente strettamente crescente, non è globalmente strettamente decrescente (ed analoghe considerazioni valgono per \(g(x):=-x\)).

Tuttavia, se ipotizzi segno costante, allora la monotonia si inverte passando al reciproco.
Infatti, se la tua funzione è positiva e se per \(x Lo stesso accade se la funzione è negativa: infatti, se per \(x

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[Zero87]

"gugo82":Tuttavia, se ipotizzi segno costante, allora la monotonia si inverte passando al reciproco.

Infatti, specifichiamo.

Dal mio intervento si è visto che (sotto)intendevo questa cosa... ma mi sono dimenticato di scriverla esplicitamente (accennandola quando parlavo di frazione).