Monotonia

[matematicoestinto]

Ciao a tutti
Potreste dimostrarmi che la successione:

$(a_n)=((1+1/n^2)^(n^2))$ è monotona cresente senza usare derivate o grafici di funzione?

[Cheguevilla]

Può essere rilevante il fatto che tutti i suoi elementi siano positivi?

[fireball1]

Osserviamo che $a_n = b_n @ c_n$
dove $b_n:=(1+1/n)^n$ e $c_n:=n^2$, quindi,
essendo composizione di funzioni (successioni)
strettamente crescenti, $a_n$ è strettamente crescente
(non è difficile verificare, usando la definizione,
che $b_n$, così definita, è strettamente
crescente in $NN\\{0}$).

[matematicoestinto]

Non credo, anche $1/n$ ha tutti gli elementi positivi, eppure è decrescente

[fireball1]

matematicoestinto, abbiamo postato nello stesso istante

[matematicoestinto]

"fireball":
(non è difficile verificare, usando la definizione,
che $b_n$, così definita, è strettamente
crescente in $NN\\{0}$).

Potresti mostrarmi come, io non ci sono riuscito

[fireball1]

"cheguevilla":Può essere rilevante il fatto che tutti i suoi elementi siano positivi?

Se sai solo che una funzione (in questo caso successione) assume solo valori positivi puoi
dire che quella funzione è senz'altro limitata inferiormente (da 0), ma non puoi dire altro.

[fireball1]

"matematicoestinto":[quote="fireball"]
(non è difficile verificare, usando la definizione,
che $b_n$, così definita, è strettamente
crescente in $NN\\{0}$).

Potresti mostrarmi come, io non ci sono riuscito[/quote]

Dimostri che $(b_n)/(b_(n-1))>1$ per ogni $n in NN\\{0}$.
Una disuguaglianza che può venirti in aiuto è quella di Bernoulli:
$(1+x)^n >= 1+nx$ per ogni $n in NN, x in (-1,+oo)$.