Monotonia
Ciao a tutti.
Sto cercando di risolvere (ma senza troppi risultati) il seguente problema:
Sia $ f(x)=\frac{x^3+1}{|x-1|-1} $.
1. Determinare il dominio di $f$ e calcolare i limiti agli estremi.
2. Studiare la monotonia di $f$ e determinare eventuali estremi relativi e/o assoluti.
Svolgimento fatto finora:
1.
Il dominio risulta \(dom(f)=(-\infty,0)\cup(0,2)\cup(2,+\infty)\) .
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow \pm \infty} f(x)= \pm \infty \)
\( \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{\pm }} f(x)=\mp\infty \)
\( \displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{\pm }} f(x)=\pm\infty \)
2.
$f$ è derivabile in $dom(f)$ e discutendo prima $f$ nei due casi per togliere il modulo ottengo che la derivata è:
\( f'(x)=
\begin{cases} \frac{2x^3-6x^2-1}{(x-2)^2} &\mbox{se } x\in[1,2)\cup(2,+\infty) \\
\frac{-2x^3+1}{x^2} & \mbox{se } x\in (-\infty,0)\cup(0,1)
\end{cases} \)
Ora la monotonia nel caso $(-\infty,0)\cup(0,1)$ è facile perché basta osservare che in questa zona del dominio \( f'(x)\geq 0 \iff x\leq \sqrt[3]{\frac{1}{2}} \).
Quindi \( x=\sqrt[3]{\frac{1}{2}} \) è un massimo relativo.
Nell'altra parte del dominio non riesco a fare molto perché non riesco a scomporre il numeratore della derivata. Forse c'è un metodo più furbo (sicuramente) per capire la monotonia senza doverlo scomporre? Ho provato a derivarlo e studiarne il segno per cercare di capire qualcosa di più e ho capito che \( 2x^3-6x^2-1 \geq 0 \) in \( [\alpha,+\infty) \) con \( 3<\alpha<4 \).
Per il computer \( \alpha=1+\frac{1}{\sqrt[3]{2}}+\sqrt[3]{2} \)
Sto cercando di risolvere (ma senza troppi risultati) il seguente problema:
Sia $ f(x)=\frac{x^3+1}{|x-1|-1} $.
1. Determinare il dominio di $f$ e calcolare i limiti agli estremi.
2. Studiare la monotonia di $f$ e determinare eventuali estremi relativi e/o assoluti.
Svolgimento fatto finora:
1.
Il dominio risulta \(dom(f)=(-\infty,0)\cup(0,2)\cup(2,+\infty)\) .
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow \pm \infty} f(x)= \pm \infty \)
\( \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{\pm }} f(x)=\mp\infty \)
\( \displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{\pm }} f(x)=\pm\infty \)
2.
$f$ è derivabile in $dom(f)$ e discutendo prima $f$ nei due casi per togliere il modulo ottengo che la derivata è:
\( f'(x)=
\begin{cases} \frac{2x^3-6x^2-1}{(x-2)^2} &\mbox{se } x\in[1,2)\cup(2,+\infty) \\
\frac{-2x^3+1}{x^2} & \mbox{se } x\in (-\infty,0)\cup(0,1)
\end{cases} \)
Ora la monotonia nel caso $(-\infty,0)\cup(0,1)$ è facile perché basta osservare che in questa zona del dominio \( f'(x)\geq 0 \iff x\leq \sqrt[3]{\frac{1}{2}} \).
Quindi \( x=\sqrt[3]{\frac{1}{2}} \) è un massimo relativo.
Nell'altra parte del dominio non riesco a fare molto perché non riesco a scomporre il numeratore della derivata. Forse c'è un metodo più furbo (sicuramente) per capire la monotonia senza doverlo scomporre? Ho provato a derivarlo e studiarne il segno per cercare di capire qualcosa di più e ho capito che \( 2x^3-6x^2-1 \geq 0 \) in \( [\alpha,+\infty) \) con \( 3<\alpha<4 \).
Per il computer \( \alpha=1+\frac{1}{\sqrt[3]{2}}+\sqrt[3]{2} \)
Risposte
Osservo che:
$d/dx (\frac{x^3-1}{x-2}) = \frac{3x^2(x-2) - (x^3-1)}{(x-2)^2} = \frac{3x^3-6x^2-x^3+1}{(x-2)^2}$
Ovvero:
$f'(x)= \frac{2x^3-6x^2+1}{(x-2)^2}$
Il numeratore può essere così scritto:
$2((x^3-3x^2+3x-1)-3x+2) = 2*[(x-1)^3-3x+2]$
Nell'intervallo $]1,2[$ possiamo porre $x=1+h$, $h\in ]0,1[$ cosicché abbiamo:
$ 2*[(1+h-1)^3-3(1+h)+2] = 2*[h^3-3-3h+2]= 2*[h^3-(1+3h)]$, $h\in]0,1[$
Ciò ci indica che in quell'intervallo il numeratore assume valori negativi.
Con la sostituzione fatta, inoltre, possiamo usare direttamente le formule di Cardano e trovare lo zero della derivata.
Infatti si ha:
$y^3-3y-1=0$
Che è della forma:
$y^3+py+q=0$
La cui soluzione è:
$y = \root(3)(-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}})+\root(3)(-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}})$
E quindi ottieni:
$y = \root(3)(\frac{2+\sqrt{5}}{2})+\root(3)(\frac{2-\sqrt{5}}{2}}$
$d/dx (\frac{x^3-1}{x-2}) = \frac{3x^2(x-2) - (x^3-1)}{(x-2)^2} = \frac{3x^3-6x^2-x^3+1}{(x-2)^2}$
Ovvero:
$f'(x)= \frac{2x^3-6x^2+1}{(x-2)^2}$
Il numeratore può essere così scritto:
$2((x^3-3x^2+3x-1)-3x+2) = 2*[(x-1)^3-3x+2]$
Nell'intervallo $]1,2[$ possiamo porre $x=1+h$, $h\in ]0,1[$ cosicché abbiamo:
$ 2*[(1+h-1)^3-3(1+h)+2] = 2*[h^3-3-3h+2]= 2*[h^3-(1+3h)]$, $h\in]0,1[$
Ciò ci indica che in quell'intervallo il numeratore assume valori negativi.
Con la sostituzione fatta, inoltre, possiamo usare direttamente le formule di Cardano e trovare lo zero della derivata.
Infatti si ha:
$y^3-3y-1=0$
Che è della forma:
$y^3+py+q=0$
La cui soluzione è:
$y = \root(3)(-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}})+\root(3)(-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}})$
E quindi ottieni:
$y = \root(3)(\frac{2+\sqrt{5}}{2})+\root(3)(\frac{2-\sqrt{5}}{2}}$
"Black Magic":
Osservo che:
$d/dx (\frac{x^3-1}{x-2}) = \frac{3x^2(x-2) - (x^3-1)}{(x-2)^2} = \frac{3x^3-6x^2-x^3+1}{(x-2)^2}$
Ovvero:
$f'(x)= \frac{2x^3-6x^2+1}{(x-2)^2}$
Grazie Black Magic!. Chiedo umilmente perdono ma il testo era errato. Il numeratore era \( x^3+1 \) ....
Me ne sono accorto ora perché non mi tornavano i conti sulla derivata che hai fatto tu!
In ogni caso per quanto vada bene tutto quello che hai fatto, non credo di poterlo usare siccome è un esercizio preso da una prova di Analisi I ad Ingegneria Meccanica.
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