Monotona crescente...
Ciao a tutti sono nuova ed ho un problema da porvi al quale io nn sono proprio riuscita a trovare soluzione e quindi confido in voi, in qualche consiglio.
Allora
Data l'equazione differenziale:
$Y''-5Y'+4Y= 4e^x$
devo trovare una soluzione dell'equazione monotona crescente.
facendo i conti la soluzione dell'equazione risulta
$y(x)= -4/3 xe^x + C_1e^x + C_2e^(4x)$
come si trova la monotona crescente????
Allora
Data l'equazione differenziale:
$Y''-5Y'+4Y= 4e^x$
devo trovare una soluzione dell'equazione monotona crescente.
facendo i conti la soluzione dell'equazione risulta
$y(x)= -4/3 xe^x + C_1e^x + C_2e^(4x)$
come si trova la monotona crescente????
Risposte
Prova a fare uno studio di funzione ed a determinare delle relazioni tra le costanti $C_1,C_2$ che ti consentano di dire che $y'(x)>=0$ per ogni $x$.
[mod="Gugo82"]Ti segnalo il link per imparare a scrivere le formule.
Inoltre, cerca di non usare più il maiuscolo.[/mod]
[mod="Gugo82"]Ti segnalo il link per imparare a scrivere le formule.
Inoltre, cerca di non usare più il maiuscolo.[/mod]
Scusa ma se io non ho condizioni iniziali come faccio a trovare una relazione tra $C_1,C_2$ ? Se dico stupidaggini scusa ma io ho cercato di studiare ma nn riesco a capire, so che per trovare la monotonia devo avere la derivata prima della funzione maggiore di zero, ma le 2 costanti??
"Gugo82":
Prova a fare uno studio di funzione ed a determinare delle relazioni tra le costanti $C_1,C_2$ che ti consentano di dire che $y'(x)>=0$ per ogni $x$.
Innanzitutto una nota terminologica: $y(x)= -4/3 x"e"^x + C_1"e"^x + C_2"e"^(4x)$ non è "la soluzione", ma l'integrale generale dell'equazione.
Poi, dopo aver notato che l'esercizio è effettivamente un po' complesso se non hai un po' di esperienza, ti passo ad illustrare una possibile soluzione.
Vogliamo stabilire se esistono costanti $C_1,C_2\in RR$ tali che $y(x)$ sia monotona crescente.
Visto che $y(x)$ è di classe $C^oo$ in $RR$ una condizione sufficiente affinché essa abbia la monotonia richiesta è che $y'(x)>=0$ per ogni $x\in RR$: derivando una volta otteniamo:
$y'(x)=-4/3 (x+1+C_1)"e"^x+4C_2"e"^(4x)$
cosicché
$y'>=0 \quad \Leftrightarrow \quad 4/3(x+C_1+1)<=4C_2"e"^(3x)$
$\quad \Leftrightarrow \quad x+C_1+1<=3C_2"e"^(3x)$ (*);
geometricamente, la disuguaglianza (*) significa che per avere $y'>=0$ bisogna scegliere $C_1,C_2\in RR$ in modo che la retta d'equazione $y=x+C_1+1$ stia tutta sotto il grafico della funzione $3C_2"e"^(3x)$.
Ora, se $C_2<=0$, per evidenti motivi geometrici (fai un disegno!), per nessun valore di $C_1\in RR$ può essere $x+C_1+1<=3C_2"e"^(3x)$ per ogni $x\in RR$.*
Quindi necessariamente devi scegliere $C_2>0$.
Supponiamo allora $C_2>0$ e consideriamo la funzione $G(x)=3C_2"e"^(3x)-x-(C_1+1)$: la $G$ è di classe $C^oo$ in tutto $RR$ e derivando otteniamo:
$G'(x)=9C_2"e"^(3x)-1$
cosicché si ha $G'>=0$ [risp. $G'<=0$] se e solo se $x>=x(C_2)=-1/3log(9C_2)$ [risp. $x<=x(C_2)$]; pertanto la $G$ assume il suo minimo assoluto in $x(C_2)$ e tale minimo è:
$min G= G(x(C_2))=3C_2"e"^(3[-1/3log(9C_2)])+1/3log(9C_2)-(C_1+1)$
$\quad =3C_2/(9C_2)+1/3log(9C_2)-(C_1+1)$
$\quad =1/3[4+log(9C_2)]-C_1$.
La nostra disuguaglianza (*) è verificata per ogni $x\in RR$ non appena si scelgano $C_1,C_2$ in modo che $min G>=0$: questa condizione equivale a richiedere che risulti:
$C_1<=1/3[4+log(9C_2)]$ o equivalentemente $C_1<=1/3[4+2log3+logC_2]$
che è la relazione tra $C_1$ e $C_2$ della quale parlavo nel mio primo post.
Riassumendo: le soluzioni monotone crescenti per la tua equazione si trovano unicamente scegliendo $C_2>0$ e $C_1<=1/3[4+log(9C_2)]$.
Ovviamente, ho fatto un po' di conti veloci e non li ho controllati (né ho controllato che quello proposto fosse il vero integrale generale del problema); quindi rivedi tutti i conti attentamente.
Se hai bisogno di chiarimenti mi trovi qui.
__________
* Anzi, più precisamente, per ogni $C_1$ esiste certamente un $\bar{x}\in RR$ tale che $x+C_1+1<=3C_2"e"^(3x)$ per $x<= \bar{x}$ e $x+C_1+1>3C_2"e"^(3x)$ per $x>\bar{x}$
Poi, dopo aver notato che l'esercizio è effettivamente un po' complesso se non hai un po' di esperienza, ti passo ad illustrare una possibile soluzione.
Vogliamo stabilire se esistono costanti $C_1,C_2\in RR$ tali che $y(x)$ sia monotona crescente.
Visto che $y(x)$ è di classe $C^oo$ in $RR$ una condizione sufficiente affinché essa abbia la monotonia richiesta è che $y'(x)>=0$ per ogni $x\in RR$: derivando una volta otteniamo:
$y'(x)=-4/3 (x+1+C_1)"e"^x+4C_2"e"^(4x)$
cosicché
$y'>=0 \quad \Leftrightarrow \quad 4/3(x+C_1+1)<=4C_2"e"^(3x)$
$\quad \Leftrightarrow \quad x+C_1+1<=3C_2"e"^(3x)$ (*);
geometricamente, la disuguaglianza (*) significa che per avere $y'>=0$ bisogna scegliere $C_1,C_2\in RR$ in modo che la retta d'equazione $y=x+C_1+1$ stia tutta sotto il grafico della funzione $3C_2"e"^(3x)$.
Ora, se $C_2<=0$, per evidenti motivi geometrici (fai un disegno!), per nessun valore di $C_1\in RR$ può essere $x+C_1+1<=3C_2"e"^(3x)$ per ogni $x\in RR$.*
Quindi necessariamente devi scegliere $C_2>0$.
Supponiamo allora $C_2>0$ e consideriamo la funzione $G(x)=3C_2"e"^(3x)-x-(C_1+1)$: la $G$ è di classe $C^oo$ in tutto $RR$ e derivando otteniamo:
$G'(x)=9C_2"e"^(3x)-1$
cosicché si ha $G'>=0$ [risp. $G'<=0$] se e solo se $x>=x(C_2)=-1/3log(9C_2)$ [risp. $x<=x(C_2)$]; pertanto la $G$ assume il suo minimo assoluto in $x(C_2)$ e tale minimo è:
$min G= G(x(C_2))=3C_2"e"^(3[-1/3log(9C_2)])+1/3log(9C_2)-(C_1+1)$
$\quad =3C_2/(9C_2)+1/3log(9C_2)-(C_1+1)$
$\quad =1/3[4+log(9C_2)]-C_1$.
La nostra disuguaglianza (*) è verificata per ogni $x\in RR$ non appena si scelgano $C_1,C_2$ in modo che $min G>=0$: questa condizione equivale a richiedere che risulti:
$C_1<=1/3[4+log(9C_2)]$ o equivalentemente $C_1<=1/3[4+2log3+logC_2]$
che è la relazione tra $C_1$ e $C_2$ della quale parlavo nel mio primo post.
Riassumendo: le soluzioni monotone crescenti per la tua equazione si trovano unicamente scegliendo $C_2>0$ e $C_1<=1/3[4+log(9C_2)]$.
Ovviamente, ho fatto un po' di conti veloci e non li ho controllati (né ho controllato che quello proposto fosse il vero integrale generale del problema); quindi rivedi tutti i conti attentamente.
Se hai bisogno di chiarimenti mi trovi qui.
__________
* Anzi, più precisamente, per ogni $C_1$ esiste certamente un $\bar{x}\in RR$ tale che $x+C_1+1<=3C_2"e"^(3x)$ per $x<= \bar{x}$ e $x+C_1+1>3C_2"e"^(3x)$ per $x>\bar{x}$
Scusa Gugo82 andiamo per passi, assumendo che l'integrale generale dell'equazione da me svolto sia esatto (se trovi un errore sono ben lieta di apprenderlo, io sono alle prime armi), io ho fatto la derivata solo che da diversa ovvero:
$y'(x)=(-4/3-4/3x+C_1)"e"^x+4C_2"e"^(4x)$
ho sbagliato io? so che tu hai detto che non hai fatto i conti ma vorrei sapere se sbaglio io, ho i dubbi su ogni cosa che faccio... così sulla base di quello che hai detto tu continuo con i miei calcoli
$y'(x)=(-4/3-4/3x+C_1)"e"^x+4C_2"e"^(4x)$
ho sbagliato io? so che tu hai detto che non hai fatto i conti ma vorrei sapere se sbaglio io, ho i dubbi su ogni cosa che faccio... così sulla base di quello che hai detto tu continuo con i miei calcoli
"Gugo82":
Innanzitutto una nota terminologica: $y(x)= -4/3 x"e"^x + C_1"e"^x + C_2"e"^(4x)$ non è "la soluzione", ma l'integrale generale dell'equazione.
Poi, dopo aver notato che l'esercizio è effettivamente un po' complesso se non hai un po' di esperienza, ti passo ad illustrare una possibile soluzione.
Vogliamo stabilire se esistono costanti $C_1,C_2\in RR$ tali che $y(x)$ sia monotona crescente.
Visto che $y(x)$ è di classe $C^oo$ in $RR$ una condizione sufficiente affinché essa abbia la monotonia richiesta è che $y'(x)>=0$ per ogni $x\in RR$: derivando una volta otteniamo:
$y'(x)=-4/3 (x+1+C_1)"e"^x+4C_2"e"^(4x)$
cosicché
$y'>=0 \quad \Leftrightarrow \quad 4/3(x+C_1+1)<=4C_2"e"^(3x)$
$\quad \Leftrightarrow \quad x+C_1+1<=3C_2"e"^(3x)$ (*);
geometricamente, la disuguaglianza (*) significa che per avere $y'>=0$ bisogna scegliere $C_1,C_2\in RR$ in modo che la retta d'equazione $y=x+C_1+1$ stia tutta sotto il grafico della funzione $3C_2"e"^(3x)$.
Ora, se $C_2<=0$, per evidenti motivi geometrici (fai un disegno!), per nessun valore di $C_1\in RR$ può essere $x+C_1+1<=3C_2"e"^(3x)$ per ogni $x\in RR$.*
Quindi necessariamente devi scegliere $C_2>0$.
Supponiamo allora $C_2>0$ e consideriamo la funzione $G(x)=3C_2"e"^(3x)-x-(C_1+1)$: la $G$ è di classe $C^oo$ in tutto $RR$ e derivando otteniamo:
$G'(x)=9C_2"e"^(3x)-1$
cosicché si ha $G'>=0$ [risp. $G'<=0$] se e solo se $x>=x(C_2)=-1/3log(9C_2)$ [risp. $x<=x(C_2)$]; pertanto la $G$ assume il suo minimo assoluto in $x(C_2)$ e tale minimo è:
$min G= G(x(C_2))=3C_2"e"^(3[-1/3log(9C_2)])+1/3log(9C_2)-(C_1+1)$
$\quad =3C_2/(9C_2)+1/3log(9C_2)-(C_1+1)$
$\quad =1/3[4+log(9C_2)]-C_1$.
La nostra disuguaglianza (*) è verificata per ogni $x\in RR$ non appena si scelgano $C_1,C_2$ in modo che $min G>=0$: questa condizione equivale a richiedere che risulti:
$C_1<=1/3[4+log(9C_2)]$ o equivalentemente $C_1<=1/3[4+2log3+logC_2]$
che è la relazione tra $C_1$ e $C_2$ della quale parlavo nel mio primo post.
Riassumendo: le soluzioni monotone crescenti per la tua equazione si trovano unicamente scegliendo $C_2>0$ e $C_1<=1/3[4+log(9C_2)]$.
Ovviamente, ho fatto un po' di conti veloci e non li ho controllati (né ho controllato che quello proposto fosse il vero integrale generale del problema); quindi rivedi tutti i conti attentamente.
Se hai bisogno di chiarimenti mi trovi qui.
__________
* Anzi, più precisamente, per ogni $C_1$ esiste certamente un $\bar{x}\in RR$ tale che $x+C_1+1<=3C_2"e"^(3x)$ per $x<= \bar{x}$ e $x+C_1+1>3C_2"e"^(3x)$ per $x>\bar{x}$
Hai ragione.
Facendo di corsa ho dimenticato che avevo messo in evidenza un $-4/3$... Poco male; dopo il mio errore, sostituisci dappertutto $C_1$ con $-3/4C_1$ e dovresti trovarti. Domani quando sarò più lucido correggerò; abbi pazienza.
Comunque ciò che conta è il pattern che ti ho fornito per la soluzione; ti basta capire perchè ho fatto quei passaggi per saperti muovere in futuro per la soluzione di problemi simili.
Facendo di corsa ho dimenticato che avevo messo in evidenza un $-4/3$... Poco male; dopo il mio errore, sostituisci dappertutto $C_1$ con $-3/4C_1$ e dovresti trovarti. Domani quando sarò più lucido correggerò; abbi pazienza.
Comunque ciò che conta è il pattern che ti ho fornito per la soluzione; ti basta capire perchè ho fatto quei passaggi per saperti muovere in futuro per la soluzione di problemi simili.
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