Momento inerzia superficiale rispetto origine

Gost91
Buona sera! :D

Dovrei calcolare il momento di inerzia rispetto l'origine di $\Sigma={(x,y,z)\inRR^3:x^2+y^2=z^2,1<=z<=2}$ considerando tale superficie omogenea con densità superficiale unitaria.

Per prima cosa parametrizzo $\Sigma$:

$\Sigma={(x=ucosv),(y=sinv),(z=u):}$ con $u\in[1,2]$ e $v\in[0,2pi]$

Quindi mi calcolo i vettori tangenti:

$\Sigma_u=[[cosv],[sinv],[1]]$

$\Sigma_v=[[-usinv],[ucosv],[0]]$

Quindi mi ricavo le componenti del vettore normale e successivamente mi calcolo il modulo:

$\vecn=\Sigma_u\times\Sigma_v=|(\veci,\vecj,\veck),(cosv,sinv,1),(-usinv,ucosv,0)|=$

$(-ucosv)\veci+(-usinv)\vecj+(ucos^2v+usin^2v)\veck$

$=>|\vecn|=sqrt(u^2cos^2v+u^2sin^2v+u^2)=sqrt(2)u$

Quindi mi imposto e risolvo l'integrale $intint_\Sigmax^2+y^2+z^2d\sigma$:

$int_0^(2pi)int_1^2(u^2cos^2v+u^2sin^2v+u^2)sqrt(2)ududv=$

$sqrt(2)int_0^(2pi)int_1^2u^3dudv=(sqrt(2))/2int_0^(2pi)15dv=15sqrt(2)pi$

Ora vorrei sapere se i passaggi da seguire per risolvere l'esercizio sono effettivamente quelli che ho sviluppato e inoltre se c'è qualche errore di calcolo o di impostazione.
Grazie mille a tutti in anticipo!

Risposte
ciampax
Mi sembra tutto corretto.

Gost91
Grazie per la risposta ciampax!
Sempre molto disponibile!

Quinzio
Il momento d'inerzia va calcolato rispetto ad un asse. Tu l'hai calcolato rispetto a un punto (l'origine), ma non ha senso .
Ti dice proprio così il problema, "calcolare il momento di inerzia rispetto l'origine" ?

Gost91
Sisi, proprio rispetto l'origine!
Durante il corso abbiamo parlato di momento d'inerzia rispetto l'origine e rispetto gli assi coordinati.
Perchè non avrebbe senso come cosa?

ciampax
Quinzio, nel caso di superfici, esiste il momento di inerzia polare, che viene definito allo stesso modo.

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