Momento inerzia superficiale rispetto origine

[Gost91]

Buona sera!

Dovrei calcolare il momento di inerzia rispetto l'origine di $\Sigma={(x,y,z)\inRR^3:x^2+y^2=z^2,1<=z<=2}$ considerando tale superficie omogenea con densità superficiale unitaria.

Per prima cosa parametrizzo $\Sigma$:

$\Sigma={(x=ucosv),(y=sinv),(z=u):}$ con $u\in[1,2]$ e $v\in[0,2pi]$

Quindi mi calcolo i vettori tangenti:

$\Sigma_u=[[cosv],[sinv],[1]]$

$\Sigma_v=[[-usinv],[ucosv],[0]]$

Quindi mi ricavo le componenti del vettore normale e successivamente mi calcolo il modulo:

$\vecn=\Sigma_u\times\Sigma_v=|(\veci,\vecj,\veck),(cosv,sinv,1),(-usinv,ucosv,0)|=$

$(-ucosv)\veci+(-usinv)\vecj+(ucos^2v+usin^2v)\veck$

$=>|\vecn|=sqrt(u^2cos^2v+u^2sin^2v+u^2)=sqrt(2)u$

Quindi mi imposto e risolvo l'integrale $intint_\Sigmax^2+y^2+z^2d\sigma$:

$int_0^(2pi)int_1^2(u^2cos^2v+u^2sin^2v+u^2)sqrt(2)ududv=$

$sqrt(2)int_0^(2pi)int_1^2u^3dudv=(sqrt(2))/2int_0^(2pi)15dv=15sqrt(2)pi$

Ora vorrei sapere se i passaggi da seguire per risolvere l'esercizio sono effettivamente quelli che ho sviluppato e inoltre se c'è qualche errore di calcolo o di impostazione.
Grazie mille a tutti in anticipo!

[ciampax]

Mi sembra tutto corretto.

[Gost91]

Grazie per la risposta ciampax!
Sempre molto disponibile!

[Quinzio]

Il momento d'inerzia va calcolato rispetto ad un asse. Tu l'hai calcolato rispetto a un punto (l'origine), ma non ha senso .
Ti dice proprio così il problema, "calcolare il momento di inerzia rispetto l'origine" ?

[Gost91]

Sisi, proprio rispetto l'origine!
Durante il corso abbiamo parlato di momento d'inerzia rispetto l'origine e rispetto gli assi coordinati.
Perchè non avrebbe senso come cosa?

[ciampax]

Quinzio, nel caso di superfici, esiste il momento di inerzia polare, che viene definito allo stesso modo.