Momento di Inerzia in R^3
Salve a tutti,
Ho il seguente esercizio: calcolare il momento d'inerzia, rispetto all'origine, del dominio $X$ di $R^3$ definito dalle limitazioni: $x^2 + y^2 <=1$ e $0<=z<= 1+(1-x^2-y^2)^(1/2)$.
Intanto vorrei capire se essendo rispetto all'orgine il momento è dato da:
$int int int_X (x^2+y^2+z^2)dxdydz$
grazie
Ho il seguente esercizio: calcolare il momento d'inerzia, rispetto all'origine, del dominio $X$ di $R^3$ definito dalle limitazioni: $x^2 + y^2 <=1$ e $0<=z<= 1+(1-x^2-y^2)^(1/2)$.
Intanto vorrei capire se essendo rispetto all'orgine il momento è dato da:
$int int int_X (x^2+y^2+z^2)dxdydz$
grazie
Risposte
Ma il momento di inerzia non si fa rispetto ad un asse...? Se non mi sbaglio il momento di inerzia rispetto ad un punto è un tensore a due indici, non uno scalare.
"dissonance":
Ma il momento di inerzia non si fa rispetto ad un asse...? Se non mi sbaglio il momento di inerzia rispetto ad un punto è un tensore a due indici, non uno scalare.
Francamente non ho competenze adeguate per smentire o confermare, anche perchè il mio libro il Marcellini Sbordone tale argomento lo tratta in maniera estremamente marginale. Cercando su internet non è che abbia trovato moltissimo e pur tuttavia ho trovato un esercizio in cui si chiedeva di calcolare il momento d'inerzia rispetto all'origine ma in $R^2$, e non so se questo possa influenzare la risposta alla tua domanda.
Rileggendo il tema di esame, confermo quanto da me scritto nel precedente post.
Sembrerebbe, e dico sembrerebbe, in analogia all'esercizio che chiede di trovare il momento d'inerzia rispetto all'origine in $R^2$ che l'impostazione dell'esercizio in $R^3$ rispetto all'origine sia quella da me postata, essendo quella in $R^2$ uguale a $int int_A (x^2+y^2)dxdy$
E si, allora si sta parlando di momento di inerzia rispetto all'asse delle \(z\). Quindi è
\[I_z=\iiint_X \left( x^2+y^2\right)\, dxdydz. \]
Devi integrare la distanza al quadrato dall'asse in questione (ci sarebbe anche la massa, ma di sicuro il sistema è considerato omogeneo e di massa \(1\), come si fa di solito in matematica).
\[I_z=\iiint_X \left( x^2+y^2\right)\, dxdydz. \]
Devi integrare la distanza al quadrato dall'asse in questione (ci sarebbe anche la massa, ma di sicuro il sistema è considerato omogeneo e di massa \(1\), come si fa di solito in matematica).
"dissonance":
E si, allora si sta parlando di momento di inerzia rispetto all'asse delle \(z\). Quindi è
\[I_z=\iiint_X \left( x^2+y^2\right)\, dxdydz. \]
Devi integrare la distanza al quadrato dall'asse in questione (ci sarebbe anche la massa, ma di sicuro il sistema è considerato omogeneo e di massa \(1\), come si fa di solito in matematica).
Ho controllato l'esercizio che ho trovato svolto su internet e fa riferimento a $R^2$, eppure dice testualmente:
Calcolare il momento di inerzia rispetto all'origine della lamina piana omogenea di densità unitaria rappresentata dall'insieme: $A={(x,y) in R^2: x^2+y^2<=1; x^2+4y^2>=1}$
Svolgimento: Per definizione di momento di inerzia rispetto all'origine, si tratta di calcolare l'integrale doppio:
$I_o= int_A (x^2 +y^2) dxdy$
................................
Allora mi domando se fosse vero che il momento di inerzia è rispetto ad una retta (tra l'altro è la definizione che ne da il mio libro), allora perchè in quel'esercizio che ricordo è in $R^2$, se lo cerchiamo rispetto all'origine, non abbiamo che vi sia una asse di rotazione, che nel caso da me postato hai individuato in $z$. Per analogia dovrebbe essere che o $x^2$ oppure $y^2$ siano $0$.
Può essere che quando si considera l'origine non si considera una retta ma piuttosto il punto di origine stesso?
Tra l'altro se fosse come dici tu, quell'esercizio si presterebbe a forti mismatch di interpretazione in sede di esame.
Grazie comunque
Ritorno sull'argomento.
Infatti ho trovato su un libro di Analisi 2, che quando si considera il momento di inerzia rispetto all'origine, esso non è altro che la somma dei momenti di inerzi ricavati di volta in volta rispetto ad un asse cartesiano inteso come asse di rotazione.
Nel caso di momento di inerzia rispetto all'origine in $R^3$ il libro dice chiaramente che è uguale a questa quantità
$int int int_X (x^2+y^2+z^2) dxdydz$, chiaramente si intende un corpo di densità omogenea e massa unitaria.
Per risolvere definitivamente l'esercizio proposto devo trovarmi comunque il dominio di integrazione.
Nel caso ho osservato che ho da una parte $x^2+y^2<=1$ e dall'altra $0<=z<=1+(1-x^2-y^2)^(1/2)$. Nel primo caso è una circonferenza nel piano $x$, $y$ di raggio unitario, e pertanto $z$ dovrebbe variare tra $0$ e $2$, quando $x^2+y^2=0$.
Ho applicato la sostituzione di variabile in coordinate cilindriche ed ottengo alla fine:
$int_0^1 \rho d\rho int_0^2\pi d\theta int_0^2 (\rho^2 +z^2)dz$ che dovrebbe venire $11/3 \pi$
Infatti ho trovato su un libro di Analisi 2, che quando si considera il momento di inerzia rispetto all'origine, esso non è altro che la somma dei momenti di inerzi ricavati di volta in volta rispetto ad un asse cartesiano inteso come asse di rotazione.
Nel caso di momento di inerzia rispetto all'origine in $R^3$ il libro dice chiaramente che è uguale a questa quantità
$int int int_X (x^2+y^2+z^2) dxdydz$, chiaramente si intende un corpo di densità omogenea e massa unitaria.
Per risolvere definitivamente l'esercizio proposto devo trovarmi comunque il dominio di integrazione.
Nel caso ho osservato che ho da una parte $x^2+y^2<=1$ e dall'altra $0<=z<=1+(1-x^2-y^2)^(1/2)$. Nel primo caso è una circonferenza nel piano $x$, $y$ di raggio unitario, e pertanto $z$ dovrebbe variare tra $0$ e $2$, quando $x^2+y^2=0$.
Ho applicato la sostituzione di variabile in coordinate cilindriche ed ottengo alla fine:
$int_0^1 \rho d\rho int_0^2\pi d\theta int_0^2 (\rho^2 +z^2)dz$ che dovrebbe venire $11/3 \pi$
Ritorno sull'argomento.
Infatti ho trovato su un libro di Analisi 2, che quando si considera il momento di inerzia rispetto all'origine, esso non è altro che la somma dei momenti di inerzia ricavati di volta in volta rispetto ad un asse cartesiano inteso come asse di rotazione.
Nel caso di momento di inerzia rispetto all'origine in $R^3$ il libro dice chiaramente che è uguale a questa quantità
$int int int_X (x^2+y^2+z^2) dxdydz$, chiaramente si intende un corpo di densità omogenea e massa unitaria.
Per risolvere definitivamente l'esercizio proposto devo trovarmi comunque il dominio di integrazione.
Nel caso ho osservato che ho da una parte $x^2+y^2<=1$ e dall'altra $0<=z<=1+(1-x^2-y^2)^(1/2)$. Nel primo caso è una circonferenza nel piano $x$, $y$ di raggio unitario, e pertanto $z$ dovrebbe variare tra $0$ e $2$, quando $x^2+y^2=0$.
Ho applicato la sostituzione di variabile in coordinate cilindriche ed ottengo alla fine:
$int_0^1 \rho d\rho int_0^(2\pi) d\theta int_0^2 (\rho^2 +z^2)dz$ che dovrebbe venire $11/3 \pi$
In ogni caso il vostro parere è molto apprezzato.
Grazie
Infatti ho trovato su un libro di Analisi 2, che quando si considera il momento di inerzia rispetto all'origine, esso non è altro che la somma dei momenti di inerzia ricavati di volta in volta rispetto ad un asse cartesiano inteso come asse di rotazione.
Nel caso di momento di inerzia rispetto all'origine in $R^3$ il libro dice chiaramente che è uguale a questa quantità
$int int int_X (x^2+y^2+z^2) dxdydz$, chiaramente si intende un corpo di densità omogenea e massa unitaria.
Per risolvere definitivamente l'esercizio proposto devo trovarmi comunque il dominio di integrazione.
Nel caso ho osservato che ho da una parte $x^2+y^2<=1$ e dall'altra $0<=z<=1+(1-x^2-y^2)^(1/2)$. Nel primo caso è una circonferenza nel piano $x$, $y$ di raggio unitario, e pertanto $z$ dovrebbe variare tra $0$ e $2$, quando $x^2+y^2=0$.
Ho applicato la sostituzione di variabile in coordinate cilindriche ed ottengo alla fine:
$int_0^1 \rho d\rho int_0^(2\pi) d\theta int_0^2 (\rho^2 +z^2)dz$ che dovrebbe venire $11/3 \pi$
In ogni caso il vostro parere è molto apprezzato.
Grazie
"emanuele78":
Può essere che quando si considera l'origine non si considera una retta ma piuttosto il punto di origine stesso?
Tra l'altro se fosse come dici tu, quell'esercizio si presterebbe a forti mismatch di interpretazione in sede di esame.
Grazie comunque
Puo' essere che venga richiesto di calcolare il momento d'inerzia rispetto a un punto. In quel caso si procede come hai fatto tu.
Chiaramente nel mondo fisico non ha nessun senso farlo, perchè i corpi ruotano attorno a un asse.
da quello che ho letto sembrerebbe che nel caso dell'origine si considera la somma dei momenti di inerzia rispetto agli assi cartesiani la cui quantità è quella che ho postato.
Invece mi chiedevo se il dominio da me calcolato è corretto.
Invece mi chiedevo se il dominio da me calcolato è corretto.
z varia tra 2 nell'origine e 1 sul bordo del cerchio/cilindro esterno....
Anche l'integrale dovresti riscriverlo bene:
$int_0^1 int_0^(2\pi) int_0^{\alpha} \rho (z^2+\rho^2) \ dz\ d\theta\ d\rho $
dove l'estremo sup del primo integrale è $\alpha =1+ (1-\rho^2)^(1/2)$, (ho sostituito $\rho^2 = x^2+y^2$)
vengono dei calcoli pesantucci......comunque.... ciao...
Anche l'integrale dovresti riscriverlo bene:
$int_0^1 int_0^(2\pi) int_0^{\alpha} \rho (z^2+\rho^2) \ dz\ d\theta\ d\rho $
dove l'estremo sup del primo integrale è $\alpha =1+ (1-\rho^2)^(1/2)$, (ho sostituito $\rho^2 = x^2+y^2$)
vengono dei calcoli pesantucci......comunque.... ciao...
"Quinzio":
z varia tra 2 nell'origine e 1 sul bordo del cerchio/cilindro esterno....
Anche l'integrale dovresti riscriverlo bene:
$int_0^1 int_0^(2\pi) int_0^{\alpha} \rho (z^2+\rho^2) \ dz\ d\theta\ d\rho $
dove l'estremo sup del primo integrale è $\alpha =1+ (1-\rho^2)^(1/2)$, (ho sostituito $\rho^2 = x^2+y^2$)
vengono dei calcoli pesantucci......comunque.... ciao...
ok l'impostazione è esatta, ho calcolato solo male $z$ che mi ha tratto in inganno pertanto l'avevo fatta variare tra $0$ e $2$.
Comunque grazie e ciao.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo