Moltiplicazione di funzione $C^{\infty}$ per distribuzione

[DavideGenova1]

Leggo sugli Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale di Kolmogorov e Fomin che la moltiplicazione (p. 210 qui, ma in questa traduzione non si parla di continuità, a differenza della trad. in italiano che sto seguendo io) di una distribuzione $f$ per una funzione infinitamente derivabile $\alpha$ definita da \((\alpha f,\varphi)=(f,\alpha\varphi)\) per ogni $\phi\in K$ funzione finita (di classe $C^{\infty}$ e nulla eccetto al di fuori di un intervallo finito; con $K$ si intende lo spazio topologico lineare di tali funzioni) è continua. Direi che ciò significhi che è continua l'applicazione \(C^{\infty}(\mathbb{R})\times D'\to D'\) è continua. Tuttavia il testo non dice che topologia sia assegnata a \(C^{\infty}(\mathbb{R})\) e quindi non ho idea di che cosa possa significare che tale moltiplicazione è continua...
Qualcuno ne sa di più?
$\infty$ grazie a tutti!!!

[dissonance]

Secondo me la topologia su $C^\infty$ è quella della convergenza uniforme di tutte le derivate sui sottoinsiemi compatti (cioé, $\phi_n\to \phi$ significa che $\|\partial^\alpha(\phi_n-\phi)\|_{L^\infty (K)}\to 0$ per ogni $\alpha\in \mathbb{N}$ e $K\subset \subset \mathbb{R}$). Però non è proprio ovvio dimostrare che il prodotto è continuo congiuntamente in $\alpha\in C^\infty$ e $f\in D'$.

P.S.: E' da parecchio che volevo chiedertelo. Ma cosa stai facendo? Ormai parli di matematica di livello piuttosto avanzato. Mi pare che tu stia contemplando la matematica, come se fosse letteratura. Se posso permettermi, perché non provi a cambiare approccio? Parti da un problema, e cercane la soluzione. Strada facendo raccogli le nozioni necessarie. Da quel poco che ho visto, i matematici fanno così.

[dissonance]

Comunque ho trovato la risposta affermativa a questa domanda nel libro sulle distribuzioni di Duistermaat & Kolk. Ma immagino sia una cosa piuttosto standard, che si può trovare su ogni libro dedicato alle distribuzioni (che io sappia, la referenza standard è il Friedlander-Joshi).