Moltiplicatori di Lagrange?
Devo calcolare l'immagine della funzione $ f:A rarr R , f(x,y,z) = x*y $ con $ A= [ (x,y,z) in RR^3; x^2+y^2+4*(z^2)-1 \leq 0 ] $
Ho pensato di utilizzare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange per trovare il massimo ed il minimo della funzione sull'insieme A, esaminando i due casi:
1) All'interno di A;
2) Sulla frontiera di A.
Ma sinceramente non concludo nulla ... devo usare un altro metodo o va bene questo? Se va bene, come devo procedere?
Grazie!
Ho pensato di utilizzare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange per trovare il massimo ed il minimo della funzione sull'insieme A, esaminando i due casi:
1) All'interno di A;
2) Sulla frontiera di A.
Ma sinceramente non concludo nulla ... devo usare un altro metodo o va bene questo? Se va bene, come devo procedere?
Grazie!
Risposte
tanto per incominciare puoi considerare solo la proiezione di $A$ su $x0y$ perché $f$ non dipende dalla coordinata $z$. Dopo di che puoi restringere il tutto al solo quadrante positivo perché $|x||y|>= xy$ per ogni $x, y in RR$. Il massimo della funzione non è interno perché l'interserzione $P$ della retta passante per $0$ e per un punto interno qualsiasi con l'arco positivo della circonferenza unitaria ha immagine tramite $f$ maggiore rispetto al punto interno scelto.
Quindi si tratta di trovare il massimo della funzione $f=xy$ nell'arco positivo della circonferenza unitaria. E su questo penso non ci siano particolari problemi. Esistono comunque due massimi perché l'immagine della funzione è simmetrica rispetto all'asse $y=-x$.
Per i minimi invece bisogna guardare sul 2°/4° quadrante. E si trovano comunque sulla circonferenza per ragioni simili al 1°/3° quadrante.
Quindi si tratta di trovare il massimo della funzione $f=xy$ nell'arco positivo della circonferenza unitaria. E su questo penso non ci siano particolari problemi. Esistono comunque due massimi perché l'immagine della funzione è simmetrica rispetto all'asse $y=-x$.
Per i minimi invece bisogna guardare sul 2°/4° quadrante. E si trovano comunque sulla circonferenza per ragioni simili al 1°/3° quadrante.
"vict85":
tanto per incominciare puoi considerare solo la proiezione di $A$ su $x0y$ perché $f$ non dipende dalla coordinata $z$. Dopo di che puoi restringere il tutto al solo quadrante positivo perché $|x||y|>= xy$ per ogni $x, y in RR$. Il massimo della funzione non è interno perché l'interserzione $P$ della retta passante per $0$ e per un punto interno qualsiasi con l'arco positivo della circonferenza unitaria ha immagine tramite $f$ maggiore rispetto al punto interno scelto.
Quindi si tratta di trovare il massimo della funzione $f=xy$ nell'arco positivo della circonferenza unitaria. E su questo penso non ci siano particolari problemi. Esistono comunque due massimi perché l'immagine della funzione è simmetrica rispetto all'asse $y=-x$.
Per i minimi invece bisogna guardare sul 2°/4° quadrante. E si trovano comunque sulla circonferenza per ragioni simili al 1°/3° quadrante.
Ti ringrazio.
Ma quindi il metodo dei moltiplicatori è totalmente errato o è comunque possibile utilizzarlo in questo caso?
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