Moltiplicatori di Lagrange
Sto studiando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, e arrivo senza troppi problemi all'individuazione degli eventuali punti critici.
A questo punto però mi trovo in difficoltà nello stabilire e sono punti di massimo(minimo) assoluti, relativi o punti di sella.
In molti esercizi ho visto che se ho più punti critici si sostituiscono banalmente tali valori nella funzione obiettivo e si confrontano i risultati (as es f(1,2)=3 e f(2,5)=5 allora ",5) max e (1,2) min), ma come "metodo" mi sembra piuttosto "rozzo" e comunque applicabile solo in determinate circostanze.
Un'altra idea sarebbe quella di studiare il determinante hessiano della funzione obiettivo, ma se la funzione è di classe C^1 (in particolare l'equazione di una retta) mi ritrovo un determinante nullo e quindi sono di nuovo al punto di partenza.
Infine ho trovato nel "Pagani-Salsa" un criterio che sembra proprio fare la caso mio: parto dalla matrice hessiana della funzione lagrangiana e ci aggiungo come prima riga e prima colonna le componenti del gradiente della funzione vincolante, ponendo per definizione l'elemento in posizione 1,1 pari a 0.
Ho quindi che se tale matrice (nel punto critico) è:
* Definita Positiva → il punto è un minimo
* Definita Negativa → il punto è un massimo
* Semidefinita Positiva → il punto potrebbe essere un minimo
* Semidefinita Negativa → il punto potrebbe essere un massimo
* Indefinita → il punto è un punto di sella
Ma come si spiega il "potrebbe essere un punto di max/min"?
E inoltre, sempre nel "Pagani-Salsa" mi trovo questo:
funz obiettivo V(x,y,z)=x*y*z
funz vincolante g(x,y,z)=xy+yz+xz-A=0 (con A>0)
La matrice dell'esercizio non dovrebbe essere:
$ ( ( 0 , sqrt(A) , sqrt(A) , sqrt(A) ),( sqrt(A), 0 , sqrt(3A/8) , sqrt(3A/8) ),( sqrt(A) , sqrt(3A/8) , 0 , sqrt(3A/8) ),( sqrt(A) , sqrt(3A/8) , sqrt(3A/8) , 0 ) ) $ ?
E nel caso di sistemi in R^2 come faccio ad avere ordine maggiore di 2?
A questo punto però mi trovo in difficoltà nello stabilire e sono punti di massimo(minimo) assoluti, relativi o punti di sella.
In molti esercizi ho visto che se ho più punti critici si sostituiscono banalmente tali valori nella funzione obiettivo e si confrontano i risultati (as es f(1,2)=3 e f(2,5)=5 allora ",5) max e (1,2) min), ma come "metodo" mi sembra piuttosto "rozzo" e comunque applicabile solo in determinate circostanze.
Un'altra idea sarebbe quella di studiare il determinante hessiano della funzione obiettivo, ma se la funzione è di classe C^1 (in particolare l'equazione di una retta) mi ritrovo un determinante nullo e quindi sono di nuovo al punto di partenza.
Infine ho trovato nel "Pagani-Salsa" un criterio che sembra proprio fare la caso mio: parto dalla matrice hessiana della funzione lagrangiana e ci aggiungo come prima riga e prima colonna le componenti del gradiente della funzione vincolante, ponendo per definizione l'elemento in posizione 1,1 pari a 0.
Ho quindi che se tale matrice (nel punto critico) è:
* Definita Positiva → il punto è un minimo
* Definita Negativa → il punto è un massimo
* Semidefinita Positiva → il punto potrebbe essere un minimo
* Semidefinita Negativa → il punto potrebbe essere un massimo
* Indefinita → il punto è un punto di sella
Ma come si spiega il "potrebbe essere un punto di max/min"?
E inoltre, sempre nel "Pagani-Salsa" mi trovo questo:
funz obiettivo V(x,y,z)=x*y*z
funz vincolante g(x,y,z)=xy+yz+xz-A=0 (con A>0)
La matrice dell'esercizio non dovrebbe essere:
$ ( ( 0 , sqrt(A) , sqrt(A) , sqrt(A) ),( sqrt(A), 0 , sqrt(3A/8) , sqrt(3A/8) ),( sqrt(A) , sqrt(3A/8) , 0 , sqrt(3A/8) ),( sqrt(A) , sqrt(3A/8) , sqrt(3A/8) , 0 ) ) $ ?
E nel caso di sistemi in R^2 come faccio ad avere ordine maggiore di 2?
Risposte
Se mi baso sul segno del determinante hessiano della funzione lagrangiana (considerando anche le derivate rispetto a lambda) i conti tornano.
C'è qualche differenza tra i due metodi o sono equivalenti?
C'è qualche differenza tra i due metodi o sono equivalenti?
Assodato che, per come viene definita
$ L(x,y,z,l)=V(x,y,z)-l*g(x,y,z) $ (con l=lambda)
è ovvio che risulti:
$ (del^2L) / (deljdell) = -(delg)/(delj) $ con j che può essere x,y o z
Trovo che il determinante della matrice hessiana di L e il determinante della matrice costruita come indicato nel Pagani-Salsa coincidono.
Scelto però un punto critico, per vedere se è max, min etc, devo valutare se la matrice è definita positiva, negativa, etc
Per la matrice hessiana di L ho trovato (su richiesta allego il pdf) che:
- è definita positiva se det(H_3)<0 e se det(H_4)<0
- è definita negativa se det(H_3)>0 e se det(H_4)<0
essendo H_3 la matrice 3x3 ottenuta eliminando dalla H_4 (4x4) la terza riga e la terza colonna
Nel seguente problema: $ V=ysqrt(1+z^2) $ e $ g=(x-1)^2+y^2+z^2-4 $ usando il metodo del confronto tra i valori assunti da V in corrispondenza dei punti critici e il metodo dell'hessiana di L l'individuazione dei punti di massimo e minimo risulta corretta, utilizzando il metodo Salsa-Pagani no. Qualche idea?
I punti critici risultano $(1,2,0,l=1/4)$ e $(1,-2,0,l=-1/4)$, $(1,sqrt(5/2),sqrt(3/2),l=1/2)$ e $(1,sqrt(5/2),-sqrt(3/2),l=1/2)$, $(1,-sqrt(5/2),sqrt(3/2),l=-1/2)$ e $(1,-sqrt(5/2)-,sqrt(3/2),l=-1/2)$
$ L(x,y,z,l)=V(x,y,z)-l*g(x,y,z) $ (con l=lambda)
è ovvio che risulti:
$ (del^2L) / (deljdell) = -(delg)/(delj) $ con j che può essere x,y o z
Trovo che il determinante della matrice hessiana di L e il determinante della matrice costruita come indicato nel Pagani-Salsa coincidono.
Scelto però un punto critico, per vedere se è max, min etc, devo valutare se la matrice è definita positiva, negativa, etc
Per la matrice hessiana di L ho trovato (su richiesta allego il pdf) che:
- è definita positiva se det(H_3)<0 e se det(H_4)<0
- è definita negativa se det(H_3)>0 e se det(H_4)<0
essendo H_3 la matrice 3x3 ottenuta eliminando dalla H_4 (4x4) la terza riga e la terza colonna
Nel seguente problema: $ V=ysqrt(1+z^2) $ e $ g=(x-1)^2+y^2+z^2-4 $ usando il metodo del confronto tra i valori assunti da V in corrispondenza dei punti critici e il metodo dell'hessiana di L l'individuazione dei punti di massimo e minimo risulta corretta, utilizzando il metodo Salsa-Pagani no. Qualche idea?
I punti critici risultano $(1,2,0,l=1/4)$ e $(1,-2,0,l=-1/4)$, $(1,sqrt(5/2),sqrt(3/2),l=1/2)$ e $(1,sqrt(5/2),-sqrt(3/2),l=1/2)$, $(1,-sqrt(5/2),sqrt(3/2),l=-1/2)$ e $(1,-sqrt(5/2)-,sqrt(3/2),l=-1/2)$
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