Moltiplicatori di Lagrange
Risposte
Tempo fa mi domandai la stessa cosa ma non ebbi fortuna a trovare risposta. Pensandoci credo che una strada possa essere questa, ma servirebbe qualcuno più esperto (stile "gugo aiutami tu") per confermare se le mie sono cavolate o meno:
vogliamo che la distanza tra due punti del piano sia minima, ovvero massimizzare e minimizzare la funzione
$(x - z)^2 + (y-t)^2$, con la coppia $(x,y) in R$ (equazione della retta) e la coppia $(z,t)$ sull'ellisse.
allora ho pensato all'utilizzo di due moltiplicatori di Lagrange, uno per massimizzare e/o minimizzare questa distanza rispetto alla retta, e uno per farlo rispetto all'ellisse. Tutti i valori che vengono fuori poi dovrebbero essere confrontati e visti volta volta. Verrebbe fuori questo sistema:
$2(x-z) = 2 lambda$
$2(y-t) = - lambda$
$-2(x-z) = 2/9 lambda_1 z$
$-2(y-t)= 1/8 lambda_1t$
$y = 2x + 8$
$t^2/9 + z^2/16 = 1$
Ma ho moltissimi dubbi sulla validità del ragionamento. Speriamo qualcuno ci indichi la retta via!
vogliamo che la distanza tra due punti del piano sia minima, ovvero massimizzare e minimizzare la funzione
$(x - z)^2 + (y-t)^2$, con la coppia $(x,y) in R$ (equazione della retta) e la coppia $(z,t)$ sull'ellisse.
allora ho pensato all'utilizzo di due moltiplicatori di Lagrange, uno per massimizzare e/o minimizzare questa distanza rispetto alla retta, e uno per farlo rispetto all'ellisse. Tutti i valori che vengono fuori poi dovrebbero essere confrontati e visti volta volta. Verrebbe fuori questo sistema:
$2(x-z) = 2 lambda$
$2(y-t) = - lambda$
$-2(x-z) = 2/9 lambda_1 z$
$-2(y-t)= 1/8 lambda_1t$
$y = 2x + 8$
$t^2/9 + z^2/16 = 1$
Ma ho moltissimi dubbi sulla validità del ragionamento. Speriamo qualcuno ci indichi la retta via!
Scusate, è più facile semplificarsi la vita dal principio.
Spero di non aver detto castronerie (se qualcuno dà uno sguardo è meglio).
La retta si parametrizza senza difficoltà con [tex]$t \to (t,2t-8)$[/tex]
Quindi la distanza (al quadrato) sarà una funzione di tre variabili,
[tex]$d(x,y,t):=(x-t)^2+(y-2t+8)^2$[/tex] con vincolo [tex]$g(x,y,t)=\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}-1=0$[/tex]
Dovendo imporre il parallelismo tra [tex]$\nabla{d}$[/tex] e [tex]$\nabla{g}$[/tex] avrò
[tex]\begin{cases} d_x(x,y,t)+\lambda g_x(x,y,t)=0 \\ d_y(x,y,t)+\lambda g_y(x,y,t)=0 \\ d_z(x,y,t)+\lambda g_z(x,y,t)=0 \\ g(x,y,t)=0 \end{cases}[/tex]
Non penso che i conti siano impossibili alla fine (le derivate dovrebbero spazzare via un po' di cose mano mano).
La distanza massima comunque si vede subito che non esiste
Spero di non aver detto castronerie (se qualcuno dà uno sguardo è meglio).
La retta si parametrizza senza difficoltà con [tex]$t \to (t,2t-8)$[/tex]
Quindi la distanza (al quadrato) sarà una funzione di tre variabili,
[tex]$d(x,y,t):=(x-t)^2+(y-2t+8)^2$[/tex] con vincolo [tex]$g(x,y,t)=\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}-1=0$[/tex]
Dovendo imporre il parallelismo tra [tex]$\nabla{d}$[/tex] e [tex]$\nabla{g}$[/tex] avrò
[tex]\begin{cases} d_x(x,y,t)+\lambda g_x(x,y,t)=0 \\ d_y(x,y,t)+\lambda g_y(x,y,t)=0 \\ d_z(x,y,t)+\lambda g_z(x,y,t)=0 \\ g(x,y,t)=0 \end{cases}[/tex]
Non penso che i conti siano impossibili alla fine (le derivate dovrebbero spazzare via un po' di cose mano mano).
La distanza massima comunque si vede subito che non esiste
@ Steve: Beh, se è valido il tuo ragionamento allora è valido anche il mio, e se è valido anche il mio allora sono contento perché forse ho capito i moltiplicatori!
"Steven":
Scusate, è più facile semplificarsi la vita dal principio.
Spero di non aver detto castronerie (se qualcuno dà uno sguardo è meglio).
La retta si parametrizza senza difficoltà con [tex]$t \to (t,2t-8)$[/tex]
Quindi la distanza (al quadrato) sarà una funzione di tre variabili,
[tex]$d(x,y,t):=(x-t)^2+(y-2t+8)^2$[/tex] con vincolo [tex]$g(x,y,t)=\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}-1=0$[/tex]
Dovendo imporre il parallelismo tra [tex]$\nabla{d}$[/tex] e [tex]$\nabla{g}$[/tex] avrò
[tex]\begin{cases} d_x(x,y,t)+\lambda g_x(x,y,t)=0 \\ d_y(x,y,t)+\lambda g_y(x,y,t)=0 \\ d_z(x,y,t)+\lambda g_z(x,y,t)=0 \\ g(x,y,t)=0 \end{cases}[/tex]
Non penso che i conti siano impossibili alla fine (le derivate dovrebbero spazzare via un po' di cose mano mano).
La distanza massima comunque si vede subito che non esiste
secondo me c'è qualcosa che non va, e riguarda la definizione di "distanza": la distanza punto-retta è definita diversamente dalla distanza tra due punti, infatti nella prima si considera la lunghezza del segmento perpendicolare alla retta che congiunge il punto alla retta. ammesso che le mie considerazioni siano corrette, non sono ancora arrivato ad una soluzione.
Ma non è che le due distanze coincidono? perché la distanza di un punto da una retta penso sia di fatto il minimo delle distanze dal punto a un qualunque altro punto che sta sulla retta, quindi questa formula va bene. D'altronde è più generale, quindi dovrebbe andar bene sempre.
è la stessa cosa che mi è venuta da pensare dopo, forse risolvendo il sistema si arriva ad una conclusione
"enr87":
secondo me c'è qualcosa che non va, e riguarda la definizione di "distanza": la distanza punto-retta è definita diversamente dalla distanza tra due punti, infatti nella prima si considera la lunghezza del segmento perpendicolare alla retta che congiunge il punto alla retta. ammesso che le mie considerazioni siano corrette, non sono ancora arrivato ad una soluzione.
Il fatto è che con la distanza che ho posto io, al variare delle tre variabili, sto considerando la distanza (quadra) di ogni punto del piano da ogni punto della retta. Poi il vincolo mi riduce i punti del piano a quelli della conica.
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