Moltiplicatori di Lagrange
Ciao.
Come si scrive la lagrangiana di una funzione su più vincoli di cui alcuni di uguaglianza e altri di disuaguaglianza?
es:
Trovare max e min di $f(x,y)$ su ${(x,y) in RR^2 : g(x,y)=0, x>=0, y>=0}
Saluti e grazie.
Come si scrive la lagrangiana di una funzione su più vincoli di cui alcuni di uguaglianza e altri di disuaguaglianza?
es:
Trovare max e min di $f(x,y)$ su ${(x,y) in RR^2 : g(x,y)=0, x>=0, y>=0}
Saluti e grazie.
Risposte
io non andrei di langrangiana...cioè mi studio i massimi e i minimi dentro il dominio con il solito metodo delle derivate parziali.
poi vedrei per la frontiera l'intersezione di $g(x,y)$ con le rette che delimitano il vincolo ($x=0$ e $y=0$) e andrei a sostituire i vari pezzi del vincolo che mi trovo nella funzione data.
Per esempio se avessi $f(x,y)$ e il vincolo è
$D={(x,y) in RR^2 : x^2+y^2<=4, x>=0, y>=0}$
andrei a scomporre la frontiera nei seguenti insiemi:
$D_1={(x,y) in RR^2 : 0<=x<=2, y=0}$
$D_2={(x,y) in RR^2 : x=0, 0<=y<=2,}$
$D_3={(x,y) in RR^2 : 0<=x<=2, y=sqrt(4-x^2)}$
e poi farei (per esempio per $D_1$):
$f(x,0)$ con $x in [0,2]$
troverei $f'(x,y)$ e studierei il segno di questa derivata e andrei a disegnare sulla frontiera mano a mano i risultati che mi saltano fuori.
(il procedimento è da ripetersi per $D_2$ e $D_3$ e solo alla fine vedi i punti di massimo / minimo / sella sulla frontiera)
poi vedrei per la frontiera l'intersezione di $g(x,y)$ con le rette che delimitano il vincolo ($x=0$ e $y=0$) e andrei a sostituire i vari pezzi del vincolo che mi trovo nella funzione data.
Per esempio se avessi $f(x,y)$ e il vincolo è
$D={(x,y) in RR^2 : x^2+y^2<=4, x>=0, y>=0}$
andrei a scomporre la frontiera nei seguenti insiemi:
$D_1={(x,y) in RR^2 : 0<=x<=2, y=0}$
$D_2={(x,y) in RR^2 : x=0, 0<=y<=2,}$
$D_3={(x,y) in RR^2 : 0<=x<=2, y=sqrt(4-x^2)}$
e poi farei (per esempio per $D_1$):
$f(x,0)$ con $x in [0,2]$
troverei $f'(x,y)$ e studierei il segno di questa derivata e andrei a disegnare sulla frontiera mano a mano i risultati che mi saltano fuori.
(il procedimento è da ripetersi per $D_2$ e $D_3$ e solo alla fine vedi i punti di massimo / minimo / sella sulla frontiera)
Sì, ok. Ma a parte che devo mettere vincoli sia di uguaglianza che di disuguaglianza contemporaneamente mi serve farlo con la lagrangiana (l'esercizio richiede questo). Qualche suggerimento?
ah ho capito...bella domanda comunque..sulla wikipedia in inglese ho trovato un metodo...ti posto il link magari ti interessa http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_multipliers
si trova nel capitoletto intitolato: The strong Lagrangian principle: Lagrange duality
spero sia quello giusto alla questione cui ti riferisci
si trova nel capitoletto intitolato: The strong Lagrangian principle: Lagrange duality
spero sia quello giusto alla questione cui ti riferisci
Sì, ce l'ho presente quella teoria, studiata in ricerca operativa, ma è un po' come sparare con il cannone agli uccellini.
Vabbè vedo cosa riesco a fare.
Ciao grazie.
Vabbè vedo cosa riesco a fare.
Ciao grazie.
eh più di questo non so...ho appena finito analisi 2 all'università e ricerca operativa se tutto va bene ce l'ho l'anno prossimo..quel che sapevo te l'ho scritto
a presto ciao..
ps però a sto punto interessa pure a me sapere come si farebbe...se magari qualcuno lo sa lo dica grazie ciaooooo
a presto ciao..
ps però a sto punto interessa pure a me sapere come si farebbe...se magari qualcuno lo sa lo dica
grazie ciaooooo
dipende dal luogo degli zeri con cui dai una descrizione del vincolo,per questo motivo:
il luogo dei punti g(x,y)=0 potrebbe essere per x>0 y>0 diffeomorfo con $R^2$,mentre non esserlo per x=0 y=0(dato che i chiusi non sono diffeomorfi con spazi R^n).
Questo sarebbe un problema(risolvibile facilmente) poichè la lagrangiana non ti darebbe informazioni su tali punti quando cerchi max e min.
esempio semplice:se studi $y=x^2$ nell'intervallo tra -1 e 1 e fai la derivata,essa ti dice che hai un min in 0,ma non ti dice che il max è assunto nei due punti estremi!
La soluzione è studiarti la lagrangiana associata al luogo degli zeri con le condizioni che sia una varietà bidimensionale(dove lo si puo considerare un aperto) e poi valutare la tua funzione f agli "estremi" di g(x,y).Alla fine guardi tra tutti i valori trovati chi è il max e chi è il min.
Non so se sono stato molto chiaro.Semmai dimmelo,ne riparliamo.
il luogo dei punti g(x,y)=0 potrebbe essere per x>0 y>0 diffeomorfo con $R^2$,mentre non esserlo per x=0 y=0(dato che i chiusi non sono diffeomorfi con spazi R^n).
Questo sarebbe un problema(risolvibile facilmente) poichè la lagrangiana non ti darebbe informazioni su tali punti quando cerchi max e min.
esempio semplice:se studi $y=x^2$ nell'intervallo tra -1 e 1 e fai la derivata,essa ti dice che hai un min in 0,ma non ti dice che il max è assunto nei due punti estremi!
La soluzione è studiarti la lagrangiana associata al luogo degli zeri con le condizioni che sia una varietà bidimensionale(dove lo si puo considerare un aperto) e poi valutare la tua funzione f agli "estremi" di g(x,y).Alla fine guardi tra tutti i valori trovati chi è il max e chi è il min.
Non so se sono stato molto chiaro.Semmai dimmelo,ne riparliamo.
"Megan00b":
Ciao.
Come si scrive la lagrangiana di una funzione su più vincoli di cui alcuni di uguaglianza e altri di disuaguaglianza?
es:
Trovare max e min di $f(x,y)$ su ${(x,y) in RR^2 : g(x,y)=0, x>=0, y>=0}
Saluti e grazie.
$L(x,y,\lambda,\mu_1,\mu_2) = f(x,y) - [ \lambda g(x,y) + \mu_1 x + \mu_2 y ]$
Anche se a dire il vero sul segno da mettere davanti alla quadra ognuno fa un po' a modo suo.
Ok. Io alla fine avevo fatto come poi ha scritto Ker e ho risolto.
Però riguardo a ciò che ha scritto Fioravante Patrone vorreic apire meglio: se scrivo così qual è la differenza tra il vincolo
${g(x,y)=0 x>=0 y>=0}$ e il vincolo ${g(x,y)=0 x=0 y=0}$. Cioè la lagrangiana è identica o sbaglio. Però il vincolo in generale è ben diverso.
Ad esempio scegliendo a caso una g(x,y) non troppo strana, questa sarà una curva nel piano. Nel primo caso prendo solo al parte del I quadrante, nel secondo ho solo l'origine qualunque sia g.
Allora ho visto sulla wiki che si suggerisce di risolvere il sistema:
Posto $Lambda(x,y,lambda,mu_1,mu_2)=f(x,y)-lambda(g(x,y))-mu_1x-mu_2y$
${(gradLambda=0),(mu_1>=0),(mu_2>=0)}$
Però non ho capito a livello teorico cosa c'è dietro e perchè dovrebbe venirne fuori quello che voglio io.
Però riguardo a ciò che ha scritto Fioravante Patrone vorreic apire meglio: se scrivo così qual è la differenza tra il vincolo
${g(x,y)=0 x>=0 y>=0}$ e il vincolo ${g(x,y)=0 x=0 y=0}$. Cioè la lagrangiana è identica o sbaglio. Però il vincolo in generale è ben diverso.
Ad esempio scegliendo a caso una g(x,y) non troppo strana, questa sarà una curva nel piano. Nel primo caso prendo solo al parte del I quadrante, nel secondo ho solo l'origine qualunque sia g.
Allora ho visto sulla wiki che si suggerisce di risolvere il sistema:
Posto $Lambda(x,y,lambda,mu_1,mu_2)=f(x,y)-lambda(g(x,y))-mu_1x-mu_2y$
${(gradLambda=0),(mu_1>=0),(mu_2>=0)}$
Però non ho capito a livello teorico cosa c'è dietro e perchè dovrebbe venirne fuori quello che voglio io.
Vincoli di uguaglianza: teorema di Lagrange
Vincoli di disuguaglianza: teorema di (Karush)-Kuhn-Tucker
La differenza è che, coi vincoli di disuguaglianza, nella CN sono comprese condizioni sui segni dei moltiplicatori più le condizioni di complementarità.
Avvertenza: la pagina di Wiki italiana sui moltiplicatori di Lagrange è una delle peggiori pagine di wiki per la mate.
Puoi dare un'occhiata ai primi due paragrafi della voce:
http://en.wikipedia.org/wiki/Karush-Kuh ... conditions
Vincoli di disuguaglianza: teorema di (Karush)-Kuhn-Tucker
La differenza è che, coi vincoli di disuguaglianza, nella CN sono comprese condizioni sui segni dei moltiplicatori più le condizioni di complementarità.
Avvertenza: la pagina di Wiki italiana sui moltiplicatori di Lagrange è una delle peggiori pagine di wiki per la mate.
Puoi dare un'occhiata ai primi due paragrafi della voce:
http://en.wikipedia.org/wiki/Karush-Kuh ... conditions
Sì, ci avevo dato un'occhiata. Poi ste benedette condizioni di KKT me le dovevo studiare primo o poi. E' arrivato il momento.
Grazie ciao.
Grazie ciao.
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