Moltiplicatori di Lagrange
Salve a tutti, volevo porvi un quesito probabilmente banale ma al quale non riesco a dare una risposta:
Nel problemi di individuazione dei punti critici vincolati quando non è possibile arrivare ad una parametrizzazione immediata del vincolo, uso solitamente il metodo dei moltiplicatori di Lagrange tale metodo fornisce in modo immediato i punti critici della funzione sul vincolo, ma se il problema mi chiede di classificarli (dire se sono di massimo o di minimo o di sella) il metodo non è efficace, devo studiare il segno dell'Hessiano della funzione di partenza o di quella di Lagrange ? o esistono altri metodi ?
Spero di essere stato sufficientemente chiaro, Grazie mille
Nel problemi di individuazione dei punti critici vincolati quando non è possibile arrivare ad una parametrizzazione immediata del vincolo, uso solitamente il metodo dei moltiplicatori di Lagrange tale metodo fornisce in modo immediato i punti critici della funzione sul vincolo, ma se il problema mi chiede di classificarli (dire se sono di massimo o di minimo o di sella) il metodo non è efficace, devo studiare il segno dell'Hessiano della funzione di partenza o di quella di Lagrange ? o esistono altri metodi ?
Spero di essere stato sufficientemente chiaro, Grazie mille
Risposte
Ricordati che per il teorema di weirestrass nel tuo vincolo esiste sempre max o min assoluto...non serve quindi studiare l'hessiano che è invece utile su insiemi aperti per max e min relativi....Dopo quindi aver individuato con i moltiplicatori di Lagrange i punti critici devi valutare la funzione in quei punti e trarre le conclusioni....
Questo vale solo se uno e' interessato alla ricerca degli estremi assoluti, per altro il vincolo deve essere chiuso e limitato per poter usare Weierstrass.
Se invece uno e' interessato a classificare i punti critici vincolati, allora si', va usato il classico test della matrice hessiana ma sulla lagrangiana, non sulla funzione.
Se invece uno e' interessato a classificare i punti critici vincolati, allora si', va usato il classico test della matrice hessiana ma sulla lagrangiana, non sulla funzione.
Scusa luca se ho un vincolo limitato e su di esso trovo dei punti critici non basta per dire che essi sono o di min o di max assoluti??
No: supponi di trovare tre punti critici e di avere tre valori distinti della funzione; cosa sai dire del punto che non e' di estremo assoluto?
ok ma lameno uno di essi deve essere di max o min assoluto no??è sulla frontiera del dominio quindi...
Se stai ottimizzando solo sulla frontiera e puoi usare Weierstrass si', basta confrontare i valori assunti dalla funzione nei punti critici vincolati: il valore massimo e quello minimo sono i due estremi assoluti. Ma potrebbero restare dei punti critici che non sono estremi assoluti, che magari sono estremi locali o selle; per questi il discorso si riallaccia al test dell'hessiana.
Ora ci sono!
Grazie mille ora mi è tutto più chiaro, avrei un'altra domanda, nello studio dell'hessiano se mi trovo davanti a forme semi-definite positive o negative qual'è secondo la vostra esperienza il modo più conveniente per procedere all'identificazione del tipo di punto critico?
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