Moltiplicatori di lagrange
devo determinare massimo e minimo assoluto di $ f(x,y,z)=x^2+y^2-z^2 $ su $ E={(x,y,z)∈RR^3:x^2+y^2=z,y=z^2} $ .
vorrei usare il teorema dei moltiplicatori di Lagrange, assicurandomi prima che $ J_F(x,y,z)=( ( 2x , 2y , -1 ),( 0 , 1 , -2z ) ) $ abbia rango massimo.
l'esercizio dice che $ J_F $ ha rango massimo in tutti i punti di $ E $ perchè non ha rango massimo se $ x=0 $ e $ 4yz=1 $ che però non soddisfano i vincoli di E.
ora: da dove escono questi punti $ x=0 $ e $ 4yz=1 $ ? mi trovo in difficoltà a trattare questo quesito perchè il vincolo non è fatto da un'unica equazione..potreste mostrarmi come fare?
vorrei usare il teorema dei moltiplicatori di Lagrange, assicurandomi prima che $ J_F(x,y,z)=( ( 2x , 2y , -1 ),( 0 , 1 , -2z ) ) $ abbia rango massimo.
l'esercizio dice che $ J_F $ ha rango massimo in tutti i punti di $ E $ perchè non ha rango massimo se $ x=0 $ e $ 4yz=1 $ che però non soddisfano i vincoli di E.
ora: da dove escono questi punti $ x=0 $ e $ 4yz=1 $ ? mi trovo in difficoltà a trattare questo quesito perchè il vincolo non è fatto da un'unica equazione..potreste mostrarmi come fare?
Risposte
Cos'è il rango di una matrice?
E come si calcola?
E come si calcola?
Ciao itisscience,
Non che abbia qualcosa da obiettare in merito all'impiego del metodo dei moltiplicatori di Lagrange, però nel caso proposto osserverei preliminarmente che $z = x^2 + y^2 \ge 0 $ (ed è uguale a $0$ se e solo se $x = y = 0 $) e che $y = z^2 \ge 0 $ (ed è uguale a $0$ se e solo se $z = 0 $). Ciò premesso, sostituendo le equazioni dei vincoli che compaiono in $E$ nell'espressione della funzione $w = f(x,y,z) = x^2+y^2-z^2 $ si ottiene $w = w(z) = z - z^2 = z(1 - z)$, che è una semplice parabola con la concavità verso il basso avente vertice $V(z_V, w_V) = V(1/2, 1/4) $ ed intersezioni con l'asse $z$ nei due punti $O(z_O, w_O) = O(0,0) $ e $A(z_A, w_A) = A(1, 0) $
Ora è evidente che:
- per $z = 0$ si ha $x = y = 0 $ e quindi il punto $O(x_O, y_O, z_O) = O(0,0,0) \implies w_O = f(O) = f(0,0,0) = 0$;
- per $z = 1 $ si ha $y = 1 $ e $x = 0 $ e quindi il punto $A(x_A, y_A, z_A) = A(0,1,1) \implies w_A = f(A) = f(0,1,1) = 0$;
- per $z = 1/2 $ si ha $y = 1/4 \implies y^2 = 1/16 \implies 1/2 = x^2 + 1/16 \implies x^2 = 7/16 \implies x_{1,2} = \pm sqrt7/4 $ e quindi i due punti $V(x_V, y_V, z_V) = V(sqrt7/4 , 1/4, 1/2) $ e $V'(x_{V'}, y_{V'}, z_{V'}) = V'(- sqrt7/4, 1/4, 1/2) \implies w_V = w_{V'} = f(V) = f(V') = 1/4 $
A questo punto dovresti riuscire a concludere facilmente in merito ai punti di massimo e di minimo assoluti della funzione $ f(x,y,z) $ proposta...
Non che abbia qualcosa da obiettare in merito all'impiego del metodo dei moltiplicatori di Lagrange, però nel caso proposto osserverei preliminarmente che $z = x^2 + y^2 \ge 0 $ (ed è uguale a $0$ se e solo se $x = y = 0 $) e che $y = z^2 \ge 0 $ (ed è uguale a $0$ se e solo se $z = 0 $). Ciò premesso, sostituendo le equazioni dei vincoli che compaiono in $E$ nell'espressione della funzione $w = f(x,y,z) = x^2+y^2-z^2 $ si ottiene $w = w(z) = z - z^2 = z(1 - z)$, che è una semplice parabola con la concavità verso il basso avente vertice $V(z_V, w_V) = V(1/2, 1/4) $ ed intersezioni con l'asse $z$ nei due punti $O(z_O, w_O) = O(0,0) $ e $A(z_A, w_A) = A(1, 0) $
Ora è evidente che:
- per $z = 0$ si ha $x = y = 0 $ e quindi il punto $O(x_O, y_O, z_O) = O(0,0,0) \implies w_O = f(O) = f(0,0,0) = 0$;
- per $z = 1 $ si ha $y = 1 $ e $x = 0 $ e quindi il punto $A(x_A, y_A, z_A) = A(0,1,1) \implies w_A = f(A) = f(0,1,1) = 0$;
- per $z = 1/2 $ si ha $y = 1/4 \implies y^2 = 1/16 \implies 1/2 = x^2 + 1/16 \implies x^2 = 7/16 \implies x_{1,2} = \pm sqrt7/4 $ e quindi i due punti $V(x_V, y_V, z_V) = V(sqrt7/4 , 1/4, 1/2) $ e $V'(x_{V'}, y_{V'}, z_{V'}) = V'(- sqrt7/4, 1/4, 1/2) \implies w_V = w_{V'} = f(V) = f(V') = 1/4 $
A questo punto dovresti riuscire a concludere facilmente in merito ai punti di massimo e di minimo assoluti della funzione $ f(x,y,z) $ proposta...
premetto di aver capito le vostre riposte, tuttavia volendo completare l'esercizio anche con i moltiplicatori di Lagrange per fare pratica e avendo finalmente capito il senso della mia domanda, vorrei chiedervi come mai i punti nessun punto di $ E $ soddisfa le due richieste, $ x=0 $ e $ 4yz=1 $ . la validità della prima implica $ y^2=z $ e $ y=z^2 $ , valide solo se $ y=z=0 $ oppure $ y=z=1 $ .
$ (0,0,0) $ non è chiaramente sul 'bordo' di $ E $ , ho però dubbi circa $ (0,1,1) $
$ (0,0,0) $ non è chiaramente sul 'bordo' di $ E $ , ho però dubbi circa $ (0,1,1) $
da dove escono questi punti $ x=0 $ e $ 4yz=1 $ ?Ti dice niente il "principio dei minori" per il rango di una matrice? Perché non provi a rispondere alla domanda di Gugo? Hai un approccio meccanico agli esercizi che non ti porterà molto lontano...
"dissonance":
Perché non provi a rispondere alla domanda di Gugo? Hai un approccio meccanico agli esercizi che non ti porterà molto lontano...
Cosa che è già successa in un esercizio sulle EDO, rimasto pericolosamente lì...
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