Moltiplicatori di Lagrange
Ciao a tutti, avrei dei problemi con il seguente esercizio:
Devo determinare i massimi e i minimi assoluti di $f(x,y) = y - x + x^2y +2xy +y^3$ vincolati alla circonferenza $(x+1)^2+y^2 = 1$.
Il mio problema è che usando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange viene fuori in seguente sistema:
$-1+2xy+2y=\lambda(2x+2)$
$1+x^2+2x+3y^3=\lambda(2y)$
$(x^2+1)+y^2-1=0$
Che è un sistema piuttosto complesso che non riesco a risolvere(e mi sembra che non sia la strada più ottimale risolvere il sistema).
Ho anche provato a scrivere esplicitamente $f(x,sqrt(1-(x+1)^2)$ e $f(x,-sqrt(1-(x+1)^2)$ ma derivandole per trovare i punti critici viene fuori qualcosa di molto brutto.
Qualche piccolo consiglio?Grazie!
Devo determinare i massimi e i minimi assoluti di $f(x,y) = y - x + x^2y +2xy +y^3$ vincolati alla circonferenza $(x+1)^2+y^2 = 1$.
Il mio problema è che usando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange viene fuori in seguente sistema:
$-1+2xy+2y=\lambda(2x+2)$
$1+x^2+2x+3y^3=\lambda(2y)$
$(x^2+1)+y^2-1=0$
Che è un sistema piuttosto complesso che non riesco a risolvere(e mi sembra che non sia la strada più ottimale risolvere il sistema).
Ho anche provato a scrivere esplicitamente $f(x,sqrt(1-(x+1)^2)$ e $f(x,-sqrt(1-(x+1)^2)$ ma derivandole per trovare i punti critici viene fuori qualcosa di molto brutto.
Qualche piccolo consiglio?Grazie!
Risposte
Ciao Ale112,
Osserverei che si ha:
$ f(x,y) = y - x + x^2y +2xy +y^3 = y(x^2 + 2x + 1) - x + y^3 = y(x + 1)^2 - x + y^3 $
e $ (x+1)^2+y^2 = 1 \implies (x + 1)^2 = 1 - y^2 $, quindi inserendo il vincolo la funzione diventa la seguente:
$f(x, y) = y(1 - y^2) - x + y^3 = y - x $
Osserverei che si ha:
$ f(x,y) = y - x + x^2y +2xy +y^3 = y(x^2 + 2x + 1) - x + y^3 = y(x + 1)^2 - x + y^3 $
e $ (x+1)^2+y^2 = 1 \implies (x + 1)^2 = 1 - y^2 $, quindi inserendo il vincolo la funzione diventa la seguente:
$f(x, y) = y(1 - y^2) - x + y^3 = y - x $
Grazie mille!
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