Moltiplicatori di Lagrange
In questo esercizio ho svolto tutto tranne il primo punto, perché non so come si svolga.
$ f(x,y)=x^4+y^4+x^3/3-7/4x^2+x/2+1 $
$ V={(x,y): x^4+y^4-x^2=0} $
a) Trovare l'equazione della retta tangente a V nel punto (1,0).
Controllo che V rispetti le condizioni del teorema del Dini.
- (1,0) appartiene a V;
- è di classe C1;
- $ f_y $ valutata nel punto è diversa da zero.
Solo che l'ultima condizione non è rispettata, in quanto $ f_y=4y^3=0 $.
Come si procede in questo caso?
b) Provare che V è un insieme chiuso e limitato.
V è chiuso in quanto luogo di zeri.
E' limitato perché $ y=(x^2-x^4)^(1/4) $ è continua con dominio $ D:[-1,1] $, dunque è limitata.
c) Utilizzando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, determinare il massimo e il minimo assoluto della funzione f ristretta a V.
$ L(x,y,lambda )=x^4+y^4+x^3/3-7/4x^2+x/2+1+lambda ( x^4+y^4-x^2) $
$ { ( L'_x=0 ),( L'_y=0 ),( L'_lambda =0 ):} $
$ { ( 4x^3+x^2-7/2x+1/2+4x^3lambda -2xlambda =0 ),( 4y^3(1-lambda ) =0 ),( x^4+y^4-x^2 =0 ):} $
Dalla seconda equazione ricavo i casi $ y=0 $, $ lambda=-1 $.
1) y=0
Sostituendo nell'ultima equazione:
$ x^4-x^2 =0 rArr x^2(x^2-1)=0 rArr x=0, x= +-1 $
Quindi ottengo A(0,0), B(1,0), C(-1, 0).
2) $ lambda=-1 $
Sostituisco nella prima equazione:
$ { ( 4x^3+x^2-7/2x+1/2-4x^3 +2x =0 ),( x^4+y^4-x^2 =0 ):} $
$ { ( x^2-3/2x+1/2 =0 ),( x^4+y^4-x^2 =0 ):} $
Ricavo le soluzioni x=1, già trovata, e x=1/2.
Sostituisco nell'equazione restante:
$ { ( x^2-3/2x+1/2 =0 ),( (1/2)^4+y^4-(1/2)^2 =0 ):} $
E ottengo $ y=3^(1/4)/2 $.
$ C(1/2, 3^(1/4)/2) $.
Infine valuto f nei punti trovati:
$ f(0,0) = 1 $
$ f(1,0)= 13/12 rArr max $
$f(-1, 0 ) = -7/12 rArr min $
$f(1/2, 3^(1/4)/2)=49/48 $
$ f(x,y)=x^4+y^4+x^3/3-7/4x^2+x/2+1 $
$ V={(x,y): x^4+y^4-x^2=0} $
a) Trovare l'equazione della retta tangente a V nel punto (1,0).
Controllo che V rispetti le condizioni del teorema del Dini.
- (1,0) appartiene a V;
- è di classe C1;
- $ f_y $ valutata nel punto è diversa da zero.
Solo che l'ultima condizione non è rispettata, in quanto $ f_y=4y^3=0 $.
Come si procede in questo caso?
b) Provare che V è un insieme chiuso e limitato.
V è chiuso in quanto luogo di zeri.
E' limitato perché $ y=(x^2-x^4)^(1/4) $ è continua con dominio $ D:[-1,1] $, dunque è limitata.
c) Utilizzando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, determinare il massimo e il minimo assoluto della funzione f ristretta a V.
$ L(x,y,lambda )=x^4+y^4+x^3/3-7/4x^2+x/2+1+lambda ( x^4+y^4-x^2) $
$ { ( L'_x=0 ),( L'_y=0 ),( L'_lambda =0 ):} $
$ { ( 4x^3+x^2-7/2x+1/2+4x^3lambda -2xlambda =0 ),( 4y^3(1-lambda ) =0 ),( x^4+y^4-x^2 =0 ):} $
Dalla seconda equazione ricavo i casi $ y=0 $, $ lambda=-1 $.
1) y=0
Sostituendo nell'ultima equazione:
$ x^4-x^2 =0 rArr x^2(x^2-1)=0 rArr x=0, x= +-1 $
Quindi ottengo A(0,0), B(1,0), C(-1, 0).
2) $ lambda=-1 $
Sostituisco nella prima equazione:
$ { ( 4x^3+x^2-7/2x+1/2-4x^3 +2x =0 ),( x^4+y^4-x^2 =0 ):} $
$ { ( x^2-3/2x+1/2 =0 ),( x^4+y^4-x^2 =0 ):} $
Ricavo le soluzioni x=1, già trovata, e x=1/2.
Sostituisco nell'equazione restante:
$ { ( x^2-3/2x+1/2 =0 ),( (1/2)^4+y^4-(1/2)^2 =0 ):} $
E ottengo $ y=3^(1/4)/2 $.
$ C(1/2, 3^(1/4)/2) $.
Infine valuto f nei punti trovati:
$ f(0,0) = 1 $
$ f(1,0)= 13/12 rArr max $
$f(-1, 0 ) = -7/12 rArr min $
$f(1/2, 3^(1/4)/2)=49/48 $
Risposte
Non ho guardato i conti, ma per il primo punto ti rilancio un esempio che dovrebbe farti capire in che situazione siamo.
Il Dini stavolta non ti dice nulla ($F_y=0$), e infatti in un intorno di $(1,0)$ non viene nemmeno definita una funzione. Ma la tangente in questo caso è immediata (un disegno rende la cosa evidente)
"maxira":
Trovare l'equazione della retta tangente a $V$ nel punto $(1,0)$
dove stavolta $V=\{ (x,y) \in RR^2: x^2+y^2=1\}$
Il Dini stavolta non ti dice nulla ($F_y=0$), e infatti in un intorno di $(1,0)$ non viene nemmeno definita una funzione. Ma la tangente in questo caso è immediata (un disegno rende la cosa evidente)
Quindi anche nel mio caso dovrei solo disegnare la funzione e cercare visivamente la tangente?
Non è impossibile (qualitativamente intendo) disegnarla. Visto che sei riuscito a esplicitare in funzione della variabile $x$, ti basta vedere che a $x=1$ hai tangente verticale... e infatti sei nella stessa situazione del mio esempio sopra.
Okay, quindi mi basta notare l'andamento generico della funzione per trovare che la tangente nel punto ha equazione x=1.
Grazie mille.
Grazie mille.
prego
La dimostrazione della limitatezza è sbagliata. Perché non consideri anche \(y=-(x^2-x^4)^\frac14\)? Aggiusta questo fatto e andrà bene.
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