Moltiplicatori di Lagrange:

[ZeTaMaster]

Dopo aver calcolato minimi e massimi di $f(x.y)= (x^2+y^2)(1-x^2)$ , devo calcolare gli estremi assoluti nell'insieme $x^2+y^2<=1$
Costruisco tale funzione lagrangiana:
$L(x,y,λ)= (x^2+y^2)(1-x^2)^2-λ(x^2+y^2-1)= x^2+x^6-2x^4+y^2+x^4y^2-2x^2y^2-λ(x^2+y^2-1)$
e procedo con le derivate:

$f_x=2x+6x^5-8x^3+4x^3y^2-4xy^2-λ(2x)=0$
$f_y=2y+2x^4y-4x^2y-λ(2y)=0$
$f_λ=+x^2+y^2=1$
Devo risolvere tale sistema , dalla seconda mettendo in evidenza y ricavo:
$y=0$
$2x+6x^5-8x^3-λ(2x)=0$
$x^2=1$

da cui ho :
$y=0$
$x=+-1$
$λ=0 $
ma lamba non deve essere diverso da zero? quindi che significa? poii l'latro sistema avrei:
$1+2x^4-4x^2-λ=0$
ecc
ecc
questa prima equazione come la risolvo?

[Noisemaker]

Determiniamo, se esite
\[\min_{C} f,\quad \max_{C} f \]
dove
\[C:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x^2+y^2\le 1\},\qquad \mbox{e}\qquad f(x,y):=(x^2+y^2)(1-x^2).\]

L'insieme $C$ è compatto, cioè chiuso e limitato e la funzone $f$ è di classe $C^{\infty}(\RR^2),$ pertanto il teorema di Weierstrass assicura l'esistenza dei punti di $\max$ e $\min$ di $f$ su $C.$ Tali punti vanno cercati tra i punti interni a $C$ dove il gradiente di $f$ si annulla e sulla frontiera di $C.$ Per quanto riguarda i punti interni, si ha
\begin{align}
\nabla f\left(-2x(x^2+y^2-1);2y-2x^2y\right)=0\qquad\Leftrightarrow\qquad\begin{cases}-2x(x^2+y^2-1)=0\\2y-2x^2y=0\end{cases}=\begin{cases}-2x(x^2+y^2-1)=0\\ y(1-x^2)=0\end{cases};
\end{align}
quest ultimo sistema equivale ai quattro sistemi seguenti:
\begin{align}
&\Sigma_1:&&\begin{cases} x =0\\ y =0\end{cases}& &\Sigma_2:& & \begin{cases} x =0\\ 1- x^2 =0\end{cases},& &\Sigma_3:& &\begin{cases}x^2+y^2=1\\ y =0\end{cases} ,& &\Sigma_4:& &\begin{cases} x^2+y^2=1\\ 1- x^2 =0\end{cases}& \\
&\Sigma_1:& &\begin{cases} x =0\\ y =0\end{cases} ,& &\Sigma_2:& & \emptyset ,& &\Sigma_3:&&\begin{cases}x =\pm1\\ y =0\end{cases} ,& & \Sigma_4:& &\begin{cases} y =0\\ x =\pm 1 \end{cases} ;&
\end{align}
si trovano cosi i punti
\[O(0;0),\quad B(1,0),\quad C(-1,0),\]
di cui evidentemente solo $O$ è interno a $C;$ per determinarna la natura, si può calcolare la matrice hessiana, cioè
\begin{align}
H(x,y)=\left(\begin{matrix}
-6x^2-2y^2+2&-4xy\\
-4xy&2-2x^2
\end{matrix}\right)\quad\Rightarrow\quad H(0,0)=\left(\begin{matrix}
2&0\\
0&2
\end{matrix}\right),
\end{align}
essendo gli autovalori entrambi positivi, si può concludere che $O$ è un punto di minimo di $f$ su $C.$ Consideriamo ora la frontiera: si può procedere in più modi:

[*:1ip1f2ti] parametrizzando la frontiera di $C,$ ponendo cioè
\begin{align}
x=\cos t,\qquad y=\sin t,\qquad t\in[0,2\pi),
\end{align}
e studiare la funzione della sola variabile $t,$ limitatamente all'intervallo $[0,2\pi),$ definita da
\begin{align}
v(t):&=f(\cos t, \sin t) =(\cos^2t+\sin^2t)(1-\cos^2t)=1-\cos^2t,\qquad t\in[0,2\pi)\\\\
v'(t)&= 2\cos t\sin t =\sin 2t\ge0 \qquad\Leftrightarrow\qquad 0\le t\le\frac{\pi}{2}\quad\cup\quad \pi\le t\le\frac{3\pi}{2},
\end{align}
quindi la funzione $v$ ha minimo in $t=0$ e $t=\pi$ e massimo in $t=\pi/2$ e $t=3\pi/2,$ e la fuznione di due variabili avrà
\begin{align*}
t=0&:&\quad&\begin{cases}
x =\cos 0= 1\\
y = \sin 0 = 0
\end{cases}&\quad&\Rightarrow&\quad &m_1=f\left(1;0\right) =0;\\
t=\pi&:&\quad&\begin{cases}
x =\cos \pi =-1\\
y = \sin \pi = 0
\end{cases}&\quad&\Rightarrow&\quad &m_2=f\left(-1;0\right)=0;\\
t=\frac{ \pi}{2}&:&\quad&\begin{cases}
x =\cos \frac{ \pi}{2}=0\\
y = \sin \frac{ \pi}{2} =1
\end{cases}&\quad&\Rightarrow&\quad &M_1=f\left(0;1\right)=1;\\
t=\frac{3\pi}{2}&:&\quad&\begin{cases}
x =\cos \frac{3\pi}{2}=0\\
y = \sin \frac{3\pi}{2} = -1
\end{cases}&\quad&\Rightarrow&\quad &M_2=f\left(0;-1\right)=1.
\end{align*}
Pertanto si può concludere che
\[\min_{C} f=0,\quad \max_{C} f =1.\][/*:m:1ip1f2ti]
[*:1ip1f2ti]Utilizzando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, detto
\[g(x,y): x^2+y^2-1=0,\]
essendo $g\inC^{\infty}(\RR^2)$ e $\nabla g=(2x,2y)=0\Leftrightarrow x=y=0\qquad \Rightarrow\quad g(0,0)=1\ne 0,$
le ipotesi per poter applicare il metodo dei moltiplicatori sono verificate, pertanto deve essere:
\[\nabla f-\lambda\nabla g=0\]
che equivale al sistema:
\begin{align}
\Sigma : \begin{cases} -2x(x^2+y^2-1)-2\lambda x=0\\
2y-2x^2y-2\lambda y=0\\
x^2+y^2=1\end{cases} =\begin{cases} x(x^2+y^2-1 +\lambda)=0\\
y(1- x^2 - \lambda )=0\\
x^2+y^2=1\end{cases}
\end{align}
che equivale ai quattro sistemi seguenti:
\begin{align}
\Sigma_1: &\begin{cases} x =0\\
y =0\\
x^2+y^2=1\end{cases}=\begin{cases} x =0\\ y =0\\
x^2+y^2=1\end{cases}=\emptyset\\
\Sigma_2:&\begin{cases} x =0\\
1-x^2-\lambda =0\\
x^2+y^2=1\end{cases}= \begin{cases} x =0\\ \lambda =1\\
y =\pm1\end{cases},\\
\Sigma_3:&\begin{cases} x^2+y^2-1 +\lambda =0\\
y =0\\
x^2+y^2=1\end{cases}=\begin{cases} \lambda=0\\ y =0\\
x =\pm1\end{cases} ,\\
\Sigma_4:&\begin{cases} x^2+y^2-1 +\lambda =0\\
1- x^2 - \lambda =0\\
x^2+y^2=1\end{cases}=\begin{cases} \lambda=0 \\ x =\pm1\\
y=0\end{cases} .
\end{align}
Si trovano anche in questo caso i punti
\[( 1,0),\quad( -1,0),\quad( 0,1), \quad(0,-1),\]
ed essendo
\[f( 1,0)=0,\quad f( -1,0)=0,\quad f (0,1)=1, \quad f(0,-1)=1,\]
si conclude, anche in questo modo,
\[\min_{C} f=0,\quad \max_{C} f =1\].[/*:m:1ip1f2ti][/list:u:1ip1f2ti]