Moltiplicatori di Lagrange
Salve, ho un dubbio sul metodo dei moltiplicatori di lagrange.
Vi posto lo stesso esercizio sul quale ho questi dubbi:
i vincoli sono :
\(\mathrm{z=0}\) e
\(\mathrm{x^2 + \frac{y^2}{2} = 1}\)
mentre la funzione è
\(\mathrm{f(x,y,z)=xz - y}\)
creandomi la funzione di Lagrange mettendo i due vincoli, facendone le derivate, il sistema che vado a svolgere è
\(\mathrm{z - 2x\mu = 0}\)
\(\mathrm{-1 - y\mu = 0}\)
\(\mathrm{x - \lambda = 0}\)
\(\mathrm{z = 0}\)
\(\mathrm{x^2 + \frac{y^2}{2} = 1}\)
e le uniche soluzioni che ottengo sono i vettori \(\mathrm{v = (0, \sqrt{2}, 0)}\) e \(\mathrm{u = (0,-\sqrt{2},0) }\)
... Ora volendo fare un check ho pensato di usare i due vincoli come condizioni sulla \(\mathrm{z}\) e la \(\mathrm{y}\), sostutiendole nella \(\mathrm{f=f(x,y(x),0)}\) e studiarne la derivata prima. Così facendo effettivamente ritrovo i punti di prima. Se provo però a fare la stessa cosa con la y, scrivendo quindi una \(\mathrm{f=f(x(y),y,0)}\) e studiandone la derivata prima non trovo nessun valore di minimo. Allora penso che devo tener conto anche degli estremi del nuovo dominio che nel primo caso è \(\mathrm{x \in [-1,1]}\), nel secondo \(\mathrm{y \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]}\). Con quest'accortezza mi ritrovo i punti originari. Però a questo punto non dovrei considerare anche i punti con \(\mathrm{x = 1, -1}\)?
in cosa sto sbagliando?
grazie in anticipo
Vi posto lo stesso esercizio sul quale ho questi dubbi:
i vincoli sono :
\(\mathrm{z=0}\) e
\(\mathrm{x^2 + \frac{y^2}{2} = 1}\)
mentre la funzione è
\(\mathrm{f(x,y,z)=xz - y}\)
creandomi la funzione di Lagrange mettendo i due vincoli, facendone le derivate, il sistema che vado a svolgere è
\(\mathrm{z - 2x\mu = 0}\)
\(\mathrm{-1 - y\mu = 0}\)
\(\mathrm{x - \lambda = 0}\)
\(\mathrm{z = 0}\)
\(\mathrm{x^2 + \frac{y^2}{2} = 1}\)
e le uniche soluzioni che ottengo sono i vettori \(\mathrm{v = (0, \sqrt{2}, 0)}\) e \(\mathrm{u = (0,-\sqrt{2},0) }\)
... Ora volendo fare un check ho pensato di usare i due vincoli come condizioni sulla \(\mathrm{z}\) e la \(\mathrm{y}\), sostutiendole nella \(\mathrm{f=f(x,y(x),0)}\) e studiarne la derivata prima. Così facendo effettivamente ritrovo i punti di prima. Se provo però a fare la stessa cosa con la y, scrivendo quindi una \(\mathrm{f=f(x(y),y,0)}\) e studiandone la derivata prima non trovo nessun valore di minimo. Allora penso che devo tener conto anche degli estremi del nuovo dominio che nel primo caso è \(\mathrm{x \in [-1,1]}\), nel secondo \(\mathrm{y \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]}\). Con quest'accortezza mi ritrovo i punti originari. Però a questo punto non dovrei considerare anche i punti con \(\mathrm{x = 1, -1}\)?
in cosa sto sbagliando?
grazie in anticipo
Risposte
Se ho capito quello che dici hai fatto questo:
caso 1) $y=\pm\sqrt{2(1-x^2)},\ z=0$ e sostituendo ottieni $f_1(x)=\mp\sqrt{2(1-x^2)}$
caso 2) $x=\pm\sqrt{1-y^2},\ z=0$ e sostituendo ottieni $f_2(y)=-y$
giusto? Ora, nel primo caso $f_1'(x)=\pm\frac{\sqrt{2}\ x}{\sqrt{1-x^2}}$ per cui hai $x=0$ come estremo e quindi i punti $(0,\pm\sqrt{2},0)$
Nel secondo caso hai $f_2'(y)=-1$ che implica che la funzione è sempre decrescente. Dal momento che, come puoi vedere, deve essere $y\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$ (siamo su una ellisse di semiassi $1$ e $\sqrt{2}$) ne segue che la funzione ha massimo per $y=-\sqrt{2}$ e minimo per $y=\sqrt{2}$, da cui ottieni nuovamente i tuoi punti.
I punti $x$ sono dipendenti, per cui hai $x=\pm\sqrt{1-{(\pm\sqrt{2})^2}/2}=0$.
caso 1) $y=\pm\sqrt{2(1-x^2)},\ z=0$ e sostituendo ottieni $f_1(x)=\mp\sqrt{2(1-x^2)}$
caso 2) $x=\pm\sqrt{1-y^2},\ z=0$ e sostituendo ottieni $f_2(y)=-y$
giusto? Ora, nel primo caso $f_1'(x)=\pm\frac{\sqrt{2}\ x}{\sqrt{1-x^2}}$ per cui hai $x=0$ come estremo e quindi i punti $(0,\pm\sqrt{2},0)$
Nel secondo caso hai $f_2'(y)=-1$ che implica che la funzione è sempre decrescente. Dal momento che, come puoi vedere, deve essere $y\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$ (siamo su una ellisse di semiassi $1$ e $\sqrt{2}$) ne segue che la funzione ha massimo per $y=-\sqrt{2}$ e minimo per $y=\sqrt{2}$, da cui ottieni nuovamente i tuoi punti.
I punti $x$ sono dipendenti, per cui hai $x=\pm\sqrt{1-{(\pm\sqrt{2})^2}/2}=0$.
si ma poi mi domando se nel primo caso allora devo tenere conto anche degli estremi per la x, quindi \(\mathrm{x = 1, -1}\), punti che però non risultano dall'applicazione dei moltiplicatori di Lagrange. Ho paura di star sbagliando concettualmente in qualche cosa.
No che non ne devi tenere conto: in tali punti la funzione è identicamente nulla, mentre è abbastanza immediato comprendere che la funzione originale cambia valore (assume sia valore positivo che negativo) e quindi i valori "nulli" non sono utili.
si, infatti la cosa è perfettamente sensata, allora credo di non aver concettualmente capito il metodo dei moltiplicatori. Vediamo.. con questo metodo trovo i punti stazionari della funzione di Lagrange i quali a loro volta sono massimi o minimi della funzione vincolata. Con quell'altro metodo a rigor di logica devo ritrovare i punti stazionari che ho trovato all'inizio... e giustamente i punti con \(\mathrm{x = 1,-1}\) non sono massimi o minimi nell'intervallo \(\mathrm{[-1,1]}\) perciò sono da escludere... right?
Sì.
ok, grazie mille 
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