Moltiplicatori

[FireFox2]

Ciao a tutti!!

Mi aiutereste con questo problema per favore:

Considerate la funzione f (x, y, z) = x + y^2 + z^3 ristretta sulla sfera di raggio uno e centro l'origine (tutti i punti (x, y, z) tali che x^2 + y^2 + z^2 = 1). Utilizzare i moltiplicatori di Lagrange per determinare il massimo/minimo di f.

Grazie in anticipo per l'aiuto!

[_Tipper]

Intanto costruisci la lagrangiana, calcola le quattro derivate parziali, e ponile uguale a zero.

[FireFox2]

Ho già fatto un po' di calcoli, e alla fine ottengo le equazioni:

1 = 2 qx
2y = 2qy
3z^2 = 2qz

dove q è il moltiplicatore. A questo punto, se q = 1 è facile trovare i punti, altrimenti ottengo dei risultati orribili. A me interessa il valore massimo e quello minimo assunto da f, c'è una via che faccia risparmiare un po' di calcoli? (A mano sono infattibili)

[Megan00b]

Usa anche la quarta equazione.
Ok. Se il moltiplicatore vale 1 hai le soluzioni $(1/2,sqrt3/2,0,1)$ e $(1/2,11/36,2/3,1)$.
Per tutti gli altri valori di q deve essere y=0. Sostituisci i valori di x e z (dipendenti da q) nella quarta equazione e risolvi. Attenzione che ad occhio vedo che una dei due sistemi che ne vengono fuori ha un'equazione frazionaria. Quindi ti potrebbero venire delle soluzioni che poi non risultano punti del grafico.