Moltiplicatore lagrange
Ho provato a risolvere un esercizio dato dal prof all'esonero ma non ho i risultati e non ho capito come controllarlo su wolfram.
Devo determinare max e min di $ f(x,y)=x^2+2y^2-x $ in $ Omega:={(x,y):x^2+y^2<=1} $
So che ci sono max e min in quanto l'insieme è un compatto(circonferenza unitaria+suo interno) grazie a weierstrass.
Mi trovo prima i punti critici interni e poi quelli della frontiera.
INTERNO
$ g(x,y)={(x,y):x^2+y^2<1} $
$ { ( (partialf)/(partial x)= 2x-1=0 ),( (partial f)/(partial y)=4y=0 ):} $ trovando il punto $(x,y)=(1/2,0)$.
Costruendo l'hessiana e trovando il determinante mi accorgo che questo è un punto di minimo(determinante e traccia positivi).
Passo alla FRONTIERA
$ g(x,y)={(x,y):x^2+y^2=1} $
La lagrangiana è $ H(x,y,lambda)= x^2+2y^2-x +lambda(x^2+y^2-1)$
$ { ( (partialf)/(partial x)= 2x-1+2lambdax=0 ),( (partial f)/(partial y)=4y+2lambday=0 ),( (partial f)/(partial lambda)=x^2+y^2-1=0 ):} $
qui mi sono un pò impicciato ma sono arrivato a concludere che
$ { ( (partialf)/(partial x)= x=1/(2+2lambda) ),( (partial f)/(partial y)=y=0 ),( (partial f)/(partial lambda)=lambda=-1/2;-3/2 ):} $
Pertanto le soluzioni sono $(1,0,-1/2) & (-1,0,-3/2)$ da cui i punti critici $(1,0) & (-1,0)$. Sostituendo mi trovo che entrambe le $f$ sono $0$...quindi? come concludo?
Tutto corretto??
Poi una domanda sulla lagrangiana. Su internet ho trovato chi usa $f-lambdag$ e chi $f+lambdag$. Qual'è quello giusto?
Devo determinare max e min di $ f(x,y)=x^2+2y^2-x $ in $ Omega:={(x,y):x^2+y^2<=1} $
So che ci sono max e min in quanto l'insieme è un compatto(circonferenza unitaria+suo interno) grazie a weierstrass.
Mi trovo prima i punti critici interni e poi quelli della frontiera.
INTERNO
$ g(x,y)={(x,y):x^2+y^2<1} $
$ { ( (partialf)/(partial x)= 2x-1=0 ),( (partial f)/(partial y)=4y=0 ):} $ trovando il punto $(x,y)=(1/2,0)$.
Costruendo l'hessiana e trovando il determinante mi accorgo che questo è un punto di minimo(determinante e traccia positivi).
Passo alla FRONTIERA
$ g(x,y)={(x,y):x^2+y^2=1} $
La lagrangiana è $ H(x,y,lambda)= x^2+2y^2-x +lambda(x^2+y^2-1)$
$ { ( (partialf)/(partial x)= 2x-1+2lambdax=0 ),( (partial f)/(partial y)=4y+2lambday=0 ),( (partial f)/(partial lambda)=x^2+y^2-1=0 ):} $
qui mi sono un pò impicciato ma sono arrivato a concludere che
$ { ( (partialf)/(partial x)= x=1/(2+2lambda) ),( (partial f)/(partial y)=y=0 ),( (partial f)/(partial lambda)=lambda=-1/2;-3/2 ):} $
Pertanto le soluzioni sono $(1,0,-1/2) & (-1,0,-3/2)$ da cui i punti critici $(1,0) & (-1,0)$. Sostituendo mi trovo che entrambe le $f$ sono $0$...quindi? come concludo?
Tutto corretto??
Poi una domanda sulla lagrangiana. Su internet ho trovato chi usa $f-lambdag$ e chi $f+lambdag$. Qual'è quello giusto?
Risposte
No! Hai sbagliato la derivata rispetto a $x$ di $H$: doveva essere $2x-1+2\lambda x=0$.
In questo modo le uniche soluzioni del sistema sono $(x,y,\lambda)=(1,0,-1/2)$ e $(x,y,\lambda)=(-1,0,-3/2)$.
In questo modo le uniche soluzioni del sistema sono $(x,y,\lambda)=(1,0,-1/2)$ e $(x,y,\lambda)=(-1,0,-3/2)$.
Letto il tuo commento sono andato a ricontrollare e ho trovato un errore mostruoso, ho sbagliato il discriminante della parziale di $H$ rispetto a $lambda$...
correggo il primo post, così non si fa confusione
correggo il primo post, così non si fa confusione
Innanzitutto nota che $f(-1,0)=2$, quindi non è nulla.
Inoltre abbiamo trascurato altre due soluzioni del sistema: $(x,y,\lambda)=(-1/2,\pm\sqrt{3}/2,-2)$.
Inoltre abbiamo trascurato altre due soluzioni del sistema: $(x,y,\lambda)=(-1/2,\pm\sqrt{3}/2,-2)$.
giusto
l'altra soluzione l'avevo trovata dalla seconda equazione ma poi l'ho esclusa, al momento non mi ricordo per quale motivo dato che ora i calcoli mi vengono come hai detto...molto probabilmente avevo sbagliato i conti
grazie mille
ma nel caso in cui si hanno le 2 $f$ uguali anche avendo coordinate diverse? penso possa accadere
l'altra soluzione l'avevo trovata dalla seconda equazione ma poi l'ho esclusa, al momento non mi ricordo per quale motivo dato che ora i calcoli mi vengono come hai detto...molto probabilmente avevo sbagliato i conti
grazie mille
ma nel caso in cui si hanno le 2 $f$ uguali anche avendo coordinate diverse? penso possa accadere
"simo954":
ma nel caso in cui si hanno le 2 $f$ uguali anche avendo coordinate diverse? penso possa accadere
Sì e non ci sarebbe nulla di male.
"quantunquemente":
In realtà però questo controlla i massimi e i minimi relativi sulla semicirconferenza $x^2+y^2=1$, $y\geq 0$. Per controllarli tutti bisognerebbe studiare i massimi e i minimi della funzione $f(t)=\cos^2 t+2\sin^2 t-\cos t$, $t\in[0,2\pi]$.
no ,controlla tutto perchè è chiaro che ad ogni $x$ corrispondono 2 $y$
$y=+-sqrt(1-x^2)$
$y=+-sqrt(1-x^2)$
Vero. Come non detto.
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