(molti) dubbi pre-esame
Salve a tutti.
Domani ho lo scritto di Analisi1 ma continuo ad avere dei dubbi riguardo alcuni esercizi:
Topologia
Determinare i punti interni, di frontiera, di accumulazione ed isolati dell'insieme D.
1) $D= A\uu\B\uu\C$ dove
$A={(x,y)\in\RR^2\ rArr x^2+y^2<4}$
$B={(x,y) rArr x<=0, y<=0}$
$C=uuu_{n=1}^\infty C_n$ con $C_n={(x,y) rArr y=(1/n)*x}$
Io ho capito il fascio di rette ($C$) ed il III quadrante ($B$) ma $A$?
2) $D={(x,y)\in\RR^2\ rArr x=1-(1/n), y=1+(1/n)}$ con $n=1,2,3,..$
Anche qui, non riesco proprio a saltarci fuori con il disegno (non necessario ma aiuta). Ho comunque provato a trovare i punti richiesti e interni=frontiera=$\varphi$ (vuoto) e isolati=$D$
3) $D=uuu_{n=1}^\infty D_n$ con $D_n={(x,y) rArr y=(n/(n+1))*x, 1<=x<2}$
Se non sbaglio l'insieme è formato dai punti compresi tra $y=1/2, y=0$ nell'intervallo $1<=x<2$ . Pero' il prof ha dato come risposta: interni=isolati=$\varphi$ e
frontiera=accumulazione=$uuu_{n=1}^\infty {(x,y) rArr y=(n/(n+1))*x, 1<=x<=2} \uu {(x,y) rArr y=x, 1<=x<=2}$ e mi chiedevo come fosse possibile, visto che se $x<2$ nell'intorno di $y=x$ non dovrebbero esserci punti appartenenti a $D$
4) $D=A\uu\ uuu_{n=1}^\infty D_n$ dove $A={(2,1), (3,0), (0,3)}$ e $D_n={(x,y) rArr y=(1/n)*x, -n<=x<=n}$
Oltre ai punti di $A$, ho disegnato fasci di rette comprese tra $y=x, y=-x$ e l'asse X. Visto come è definito $D_n$, nell'intervallo $[-1;1]$ non esiste $x$.
Il prof ha scritto che frontiera=$D\uu\{(x,0) rArr x\in\RR}$ - includendo anche il punto $(0,3)$ che poi riporta anche tra gli isolati. Errore suo?
5) $D={x\in\RR rArr x=(-1)^n*(1+(1/n))}$ con $n=1,2,3,..$
Questi sono dei punti che hanno tutti $y=0$ (o sbaglio?) e $-2=
Limiti
1) $\lim_{x \to \infty} (1-|x^2-3|)/(2x^2+4)$
Non dovrebbe venire banalmente $-1/2$?
2) $\lim_{x \to \infty} (5^sqrt(x))/(1+3^x)$
Questo proprio non ci salto fuori, non capisco come rendere utile il numeratore..
3) $\lim_{x \to 0^+} (logx)/(|sin(1/x)|)$
$|sin(1/x)|$ sembra tendere a 0 e $logx$ a $-\infty$ quindi $-\infty/0=-\infty$ right?
4) $\lim_{x \to \infty} (x^2+3logx)/(x^4+e^-x+logx)$
Banalmente, considero i termini più crescenti: $x^2/x^4 = 1/\infty = 0$. Mi è sembrato troppo facile..
5) $\lim_{x \to \infty} (-1)^n * ((n^2+sqrt(n))/(sqrt(n^6+1)))$
So che il $(-1)^n$ fa oscillare il valore, ma come mi comporto nel calcolo del limite?
Dovrebbe essere tutto (almeno per il momento
).
Grazie a tutti quelli che si prenderanno la briga di rispondere
Domani ho lo scritto di Analisi1 ma continuo ad avere dei dubbi riguardo alcuni esercizi:
Topologia
Determinare i punti interni, di frontiera, di accumulazione ed isolati dell'insieme D.
1) $D= A\uu\B\uu\C$ dove
$A={(x,y)\in\RR^2\ rArr x^2+y^2<4}$
$B={(x,y) rArr x<=0, y<=0}$
$C=uuu_{n=1}^\infty C_n$ con $C_n={(x,y) rArr y=(1/n)*x}$
Io ho capito il fascio di rette ($C$) ed il III quadrante ($B$) ma $A$?
2) $D={(x,y)\in\RR^2\ rArr x=1-(1/n), y=1+(1/n)}$ con $n=1,2,3,..$
Anche qui, non riesco proprio a saltarci fuori con il disegno (non necessario ma aiuta). Ho comunque provato a trovare i punti richiesti e interni=frontiera=$\varphi$ (vuoto) e isolati=$D$
3) $D=uuu_{n=1}^\infty D_n$ con $D_n={(x,y) rArr y=(n/(n+1))*x, 1<=x<2}$
Se non sbaglio l'insieme è formato dai punti compresi tra $y=1/2, y=0$ nell'intervallo $1<=x<2$ . Pero' il prof ha dato come risposta: interni=isolati=$\varphi$ e
frontiera=accumulazione=$uuu_{n=1}^\infty {(x,y) rArr y=(n/(n+1))*x, 1<=x<=2} \uu {(x,y) rArr y=x, 1<=x<=2}$ e mi chiedevo come fosse possibile, visto che se $x<2$ nell'intorno di $y=x$ non dovrebbero esserci punti appartenenti a $D$
4) $D=A\uu\ uuu_{n=1}^\infty D_n$ dove $A={(2,1), (3,0), (0,3)}$ e $D_n={(x,y) rArr y=(1/n)*x, -n<=x<=n}$
Oltre ai punti di $A$, ho disegnato fasci di rette comprese tra $y=x, y=-x$ e l'asse X. Visto come è definito $D_n$, nell'intervallo $[-1;1]$ non esiste $x$.
Il prof ha scritto che frontiera=$D\uu\{(x,0) rArr x\in\RR}$ - includendo anche il punto $(0,3)$ che poi riporta anche tra gli isolati. Errore suo?
5) $D={x\in\RR rArr x=(-1)^n*(1+(1/n))}$ con $n=1,2,3,..$
Questi sono dei punti che hanno tutti $y=0$ (o sbaglio?) e $-2=
Limiti
1) $\lim_{x \to \infty} (1-|x^2-3|)/(2x^2+4)$
Non dovrebbe venire banalmente $-1/2$?
2) $\lim_{x \to \infty} (5^sqrt(x))/(1+3^x)$
Questo proprio non ci salto fuori, non capisco come rendere utile il numeratore..
3) $\lim_{x \to 0^+} (logx)/(|sin(1/x)|)$
$|sin(1/x)|$ sembra tendere a 0 e $logx$ a $-\infty$ quindi $-\infty/0=-\infty$ right?
4) $\lim_{x \to \infty} (x^2+3logx)/(x^4+e^-x+logx)$
Banalmente, considero i termini più crescenti: $x^2/x^4 = 1/\infty = 0$. Mi è sembrato troppo facile..
5) $\lim_{x \to \infty} (-1)^n * ((n^2+sqrt(n))/(sqrt(n^6+1)))$
So che il $(-1)^n$ fa oscillare il valore, ma come mi comporto nel calcolo del limite?
Dovrebbe essere tutto (almeno per il momento
).Grazie a tutti quelli che si prenderanno la briga di rispondere
Risposte
Dando un'occhiata veloce ai limiti..
1) dovrebbe venire qualcosa di diverso da $-1/2$? a me sembra giusto perchè se $x-> oo$ siamo nella situazione in cui $x^2-3>0$ dunque il modulo sparisce giusto?
3) $oo/0$ è una forma di indecisione ma in ogni caso per $x->0$ hai $sen(oo)$ che oscilla tra -1 e 1 dunque il risulatato è $oo$
4) sono d'accordo
5) ma è la $x$ o la $n$ che tende a infinito?
1) dovrebbe venire qualcosa di diverso da $-1/2$? a me sembra giusto perchè se $x-> oo$ siamo nella situazione in cui $x^2-3>0$ dunque il modulo sparisce giusto?
3) $oo/0$ è una forma di indecisione ma in ogni caso per $x->0$ hai $sen(oo)$ che oscilla tra -1 e 1 dunque il risulatato è $oo$
4) sono d'accordo
5) ma è la $x$ o la $n$ che tende a infinito?
"Marty84":
Dando un'occhiata veloce ai limiti..
1) dovrebbe venire qualcosa di diverso da $-1/2$? a me sembra giusto perchè se $x-> oo$ siamo nella situazione in cui $x^2-3>0$ dunque il modulo sparisce giusto?
secondo i risultati sulla scheda dovrebbe venire $-2$
"Marty84":
4) sono d'accordo
"Marty84":
5) ma è la $x$ o la $n$ che tende a infinito?
errore mio, scusa. ovviamente è la $n$
Per $ n rarr oo $ il numeratore è asintotico a $n^2 $ , il denominatore a $ n^3 $ e quindi il limite è $0 $ , ok ? e nulla conta il fattore $(-1)^n $ in questo caso.
"Camillo":
Per $ n rarr oo $ il numeratore è asintotico a $n^2 $ , il denominatore a $ n^3 $ e quindi il limite è $0 $ , ok ? e nulla conta il fattore $(-1)^n $ in questo caso.
grazie! ora spero solo in un'anima buona che si prenderà la briga di spiegarmi la topologia...
Il primo esercizio di topologia: la A è il cerchio di raggio 2 centrato in $(0,0)$ esclusi i punti della circonferenza perciò se non sbaglio (e posso anche farlo perchè l'ultima volta che ho ragionato su queste cose risale a 4 anni fa) in questo caso tutti i punti di questo insieme sono interni. Ma se non ricordo male i punti di accumulazione non devono per forza appartenere all'insieme giusto? dunque in questo caso si può dire che i punti di accumulazione sono quelli della circonferenza...però cerca conferme perchè non ne sono sicura, ti dò solo qualche spunto!
il secondo:
sono punti isolati che stanno tutti sulla retta $y=-x+2$ perchè se tu ricavi la $n$ da $x=1-1/n$ e la sostituisci in $y=1+1/n$ trovi la retta che ti ho indicato. Ma siccome la $n$ è una variabile che assume valori discreti allora trovi che il tuo insieme è formato da punti tutti isolati tra di loro e allineati.
sono punti isolati che stanno tutti sulla retta $y=-x+2$ perchè se tu ricavi la $n$ da $x=1-1/n$ e la sostituisci in $y=1+1/n$ trovi la retta che ti ho indicato. Ma siccome la $n$ è una variabile che assume valori discreti allora trovi che il tuo insieme è formato da punti tutti isolati tra di loro e allineati.
il terzo:
ti consiglio vivamente di scrivere e disegnare $D_1$,$D_2$,$D_3$ e $D_10$. Ti renderai così conto che sono dei segmenti, pezzi di rette che passano tutte dall'origine e che, man mano che cresce la $n$ si avvicinano tutte a $y=x$. Infatti per $n->oo$ hai che $n/{n+1}->1$ per questo la retta $y=x$ è di accumulazione!
Punti interni non ce ne sono perchè qualunque punto prendi nel suo intorno di raggio anche infinitesimo cadono anche punti che non stanno nell'insieme, isolati nemmeno perchè appartengono tutti a qualche segmento.
ti consiglio vivamente di scrivere e disegnare $D_1$,$D_2$,$D_3$ e $D_10$. Ti renderai così conto che sono dei segmenti, pezzi di rette che passano tutte dall'origine e che, man mano che cresce la $n$ si avvicinano tutte a $y=x$. Infatti per $n->oo$ hai che $n/{n+1}->1$ per questo la retta $y=x$ è di accumulazione!
Punti interni non ce ne sono perchè qualunque punto prendi nel suo intorno di raggio anche infinitesimo cadono anche punti che non stanno nell'insieme, isolati nemmeno perchè appartengono tutti a qualche segmento.
secondo me il limite n.4 dovrebbe essere uguale al limite di $x^2/e^-x
che è una forma indeterminata
che è una forma indeterminata
grazie a tutti quelli che hanno risposto. purtroppo l'esame non è andato bene..
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