Molteplicità di una radice e derivate
salve a tutti..
Se conosco la molteplicità di una radice di una data equazione, posso affermare che le sue derivate (n-1)esime sono nulle?
se si come posso dimostrarlo?
un contro esempio della non veridicità del "teorema" sopra citato non potrebbe essere la funzione $(x-1)^3$
aspetto un vostro aiuto!
se avete qualche pdf da consigliarmi sarebbe perfetto!
Se conosco la molteplicità di una radice di una data equazione, posso affermare che le sue derivate (n-1)esime sono nulle?
se si come posso dimostrarlo?
un contro esempio della non veridicità del "teorema" sopra citato non potrebbe essere la funzione $(x-1)^3$
aspetto un vostro aiuto!
se avete qualche pdf da consigliarmi sarebbe perfetto!
Risposte
Credo tu intedessi dire (n+1)esime. Ad ogni modo, se prendi come equazione
$e^(2x)-2e^x+1=0$
Ha come unica soluzione $0$ con molteplicità algebrica $2$.
Ma per quante derivate tu possa fare non otterrai mai una derivata identicamente nulla.
$e^(2x)-2e^x+1=0$
Ha come unica soluzione $0$ con molteplicità algebrica $2$.
Ma per quante derivate tu possa fare non otterrai mai una derivata identicamente nulla.
Ciao. no intendevo proprio (n-1)esime.
con n molteplicità della radice della funzione $f(x)$
la domanda è: le prime n-1 derivate calcolare nel punto $x0$ dove $x0$ è quel punto tale che $f(x0)=0$ sono nulle?
se la risposta è affermativa,come faccio a dimostrarlo?
se la risposta è negativa, sono due cose completamente scollegate?
grazie
con n molteplicità della radice della funzione $f(x)$
la domanda è: le prime n-1 derivate calcolare nel punto $x0$ dove $x0$ è quel punto tale che $f(x0)=0$ sono nulle?
se la risposta è affermativa,come faccio a dimostrarlo?
se la risposta è negativa, sono due cose completamente scollegate?
grazie
Provo a darti una mano, nel mio piccolo, anche se ci sarà sicuramente gente più preparata di me disposta ad aiutarti!
Consideriamo la funzione $f(x)=(x-\alpha)^m$, dove $m$ è la molteplicità della radice $x=\alpha$ e supponiamo $\alphainRR$.
Supponiamo inoltre che $\alpha$ sia l'unica radice di $f$, altrimenti si avrebbe:
$f(x)=(x-\alpha)^m(x-\beta)(x-\gamma)...(x-\phi)$,
dove $\beta,\gamma,\phi$ sono ulteriori radici per $f$ (ovviamente nelle ipotesi che le ammetta).
Supponiamo inoltre che $n=m$, nell'ipotesi che un'equazione di ordine $k$ abbia come derivata k-esima proprio $f^(k)$.
Si ha:
$(df)/dx=m(x-\alpha)^(m-1)$
$(d^2f)/dx^2=m(m-1)(x-\alpha)^(m-2)$
$(d^3f)/dx^3=m(m-1)(m-2)(x-\alpha)^(m-3)$
$.$
$.$
$.$
$(d^(n-1)f)/dx^(n-1)=(d^(m-1)f)/dx^(m-1)=m(m-1)(m-2)...2(x-\alpha)=K(x-\alpha)$, $K\inRR$.
Sotto queste ipotesi, non è vero che la derivata $text{(n-1)esima}$ è nulla. Risulta ovviamente nulla se calcolata in $x=\alpha$. Men che meno è nulla se ha ulteriori radici, a parte un caso fortuito!
Consideriamo la funzione $f(x)=(x-\alpha)^m$, dove $m$ è la molteplicità della radice $x=\alpha$ e supponiamo $\alphainRR$.
Supponiamo inoltre che $\alpha$ sia l'unica radice di $f$, altrimenti si avrebbe:
$f(x)=(x-\alpha)^m(x-\beta)(x-\gamma)...(x-\phi)$,
dove $\beta,\gamma,\phi$ sono ulteriori radici per $f$ (ovviamente nelle ipotesi che le ammetta).
Supponiamo inoltre che $n=m$, nell'ipotesi che un'equazione di ordine $k$ abbia come derivata k-esima proprio $f^(k)$.
Si ha:
$(df)/dx=m(x-\alpha)^(m-1)$
$(d^2f)/dx^2=m(m-1)(x-\alpha)^(m-2)$
$(d^3f)/dx^3=m(m-1)(m-2)(x-\alpha)^(m-3)$
$.$
$.$
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$(d^(n-1)f)/dx^(n-1)=(d^(m-1)f)/dx^(m-1)=m(m-1)(m-2)...2(x-\alpha)=K(x-\alpha)$, $K\inRR$.
Sotto queste ipotesi, non è vero che la derivata $text{(n-1)esima}$ è nulla. Risulta ovviamente nulla se calcolata in $x=\alpha$. Men che meno è nulla se ha ulteriori radici, a parte un caso fortuito!
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