Mollificatori
Ciao ragazzi! sono un po' in crisi sulle proprietà dei mollificatori:
ad esempio la derivata di un mollificatore è ancora un mollificatore? grazie in anticipo!
ad esempio la derivata di un mollificatore è ancora un mollificatore? grazie in anticipo!
Risposte
Definisci "mollificatore".
ok noi abbiamo definito un mollificatore come una applicazione $J:RR^n$$ rarr $ $ RR $ che soddisfa le seguenti proprietà:
1) $J in C^(oo)$
2) $J(|x|)>=0$
3) il supporto di $J $ è contenuto in$ B(0,1)$
4) $int_(B(0,1)) J(x)dx=1$
Inoltre dato $\epsilon>0$ possiamo definire $J_(\epsilon)$ così: $J_(\epsilon)= 1/((\epsilon)^n)J(x/(\epsilon))$
1) $J in C^(oo)$
2) $J(|x|)>=0$
3) il supporto di $J $ è contenuto in$ B(0,1)$
4) $int_(B(0,1)) J(x)dx=1$
Inoltre dato $\epsilon>0$ possiamo definire $J_(\epsilon)$ così: $J_(\epsilon)= 1/((\epsilon)^n)J(x/(\epsilon))$
Per $n=1$, se vede che la derivata di un mollificatore non è un mollificatore: la seconda proprietà dovrebbe essere $J(x)\geq 0$, ma se $J'(x)\geq 0$ $J$ è crescente e non può avere un supporto compatto.
La risposta è no, in generale.
Ad esempio, per \(n=1\) un mollificatore è la funzione:
\[
J(x):= \begin{cases} \exp \left( \frac{1}{x^2-1}\right) &\text{, se } -1
(questo è detto anche mollificatore standard) e si ha:
\[
J^\prime (x) :=\begin{cases} \frac{\text{d}}{\text{d} x}\exp \left( \frac{1}{x^2-1}\right) &\text{, se } -1
sicché, per il teorema fondamentale del calcolo integrale è:
\[
\int_{-\infty}^\infty J^\prime (x)\ \text{d} x =J(x)\Bigg|_{-1}^1=0\neq 1\; .
\]
Ad esempio, per \(n=1\) un mollificatore è la funzione:
\[
J(x):= \begin{cases} \exp \left( \frac{1}{x^2-1}\right) &\text{, se } -1
(questo è detto anche mollificatore standard) e si ha:
\[
J^\prime (x) :=\begin{cases} \frac{\text{d}}{\text{d} x}\exp \left( \frac{1}{x^2-1}\right) &\text{, se } -1
sicché, per il teorema fondamentale del calcolo integrale è:
\[
\int_{-\infty}^\infty J^\prime (x)\ \text{d} x =J(x)\Bigg|_{-1}^1=0\neq 1\; .
\]
Sulla derivata del mollificatore segnalo questo thread:
dipoli-e-derivata-della-delta-di-dirac-t73451.html#p509859
dove ci sono anche dei grafici di derivate di mollificatori (sono quei grafici a due picchi speculari), i quali illustrano bene che la derivata di un mollificatore non è un mollificatore.
Difatti, i mollificatori non sono altro che approssimanti lisce e a supporto compatto della delta di Dirac. (*) Ma allora la derivata del mollificatore è una approssimante (liscia e a supporto compatto) della derivata della delta di Dirac. Ora è chiaro che \(\delta' \ne \delta\), e quindi è anche chiaro che la derivata del mollificatore NON è un mollificatore.
__________________
(*) In Principles of quantum mechanics, Dirac usa proprio questo concetto per introdurre la "funzione" \(\delta\).
dipoli-e-derivata-della-delta-di-dirac-t73451.html#p509859
dove ci sono anche dei grafici di derivate di mollificatori (sono quei grafici a due picchi speculari), i quali illustrano bene che la derivata di un mollificatore non è un mollificatore.
Difatti, i mollificatori non sono altro che approssimanti lisce e a supporto compatto della delta di Dirac. (*) Ma allora la derivata del mollificatore è una approssimante (liscia e a supporto compatto) della derivata della delta di Dirac. Ora è chiaro che \(\delta' \ne \delta\), e quindi è anche chiaro che la derivata del mollificatore NON è un mollificatore.
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(*) In Principles of quantum mechanics, Dirac usa proprio questo concetto per introdurre la "funzione" \(\delta\).
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