Modulo numero complesso
ciao a tutti,
siano $z,w\in CC$ tali che $|z|<1$ e $|w|<1$. dimostrare che $|\frac{z-w}{1-\bar{w}z}|<1$.
Quindi $|\frac{z-w}{1-\bar{w}z}|<1$ se e solo se $|z-w|<|1-\bar{w}z|$ se solo se $|z|^{2}+|w|^{2}<1+|w|^{2}|z|^{2}$
ma adesso non riesco a dimostrare quest'ultima disuguaglianza.
suggerimenti?
siano $z,w\in CC$ tali che $|z|<1$ e $|w|<1$. dimostrare che $|\frac{z-w}{1-\bar{w}z}|<1$.
Quindi $|\frac{z-w}{1-\bar{w}z}|<1$ se e solo se $|z-w|<|1-\bar{w}z|$ se solo se $|z|^{2}+|w|^{2}<1+|w|^{2}|z|^{2}$
ma adesso non riesco a dimostrare quest'ultima disuguaglianza.
suggerimenti?
Risposte
devi usare le ipotesi di partenza: se$|z|<1$ anche $|z|^2<1$
d'accordo ma non riesco a utilizzarla.
Ciao!
..$|z|^2+|w|^2-|w|^2|z|^2<1hArr|z|^2+|w|^2(1-|z|^2)<1$ (*).
Visto poi che nelle tue ipotesi s'avrà $|z|^2in[0,1)rArr(1-|z|^2)in(0,1]$ e $|w|^2in[0,1)$,
potrai dire che $|w|^2(1-|z|^2)in[0,1]$ e dunque,ricordando infine che $|z|^2in[0,1)$,
con una nota proprietà delle disuguaglianze in $RR$ otterrai la (*) e pertanto quanto inizialmente richiesto.
Saluti dal web.
P.S.Vera ed interessante la tua ultima equivalenza logica:
come la dimostri?
Io son ricorso alle rispettive forme algebriche di z e w,ed alla buona,sana,vecchia unione di carta,penna e calamaio,
ma ho la sensazione possa esserci sotto qualcosa di più profondo anche delle disuguaglianze triangolari sui moduli..
"miuemia":
ciao a tutti,
siano $z,w\in CC$ tali che $|z|<1$ e $|w|<1$. dimostrare che $|\frac{z-w}{1-\bar{w}z}|<1$.
Quindi $|\frac{z-w}{1-\bar{w}z}|<1$ se e solo se $|z-w|<|1-\bar{w}z|$ se solo se $|z|^{2}+|w|^{2}<1+|w|^{2}|z|^{2}$
ma adesso non riesco a dimostrare quest'ultima disuguaglianza.
suggerimenti?
..$|z|^2+|w|^2-|w|^2|z|^2<1hArr|z|^2+|w|^2(1-|z|^2)<1$ (*).
Visto poi che nelle tue ipotesi s'avrà $|z|^2in[0,1)rArr(1-|z|^2)in(0,1]$ e $|w|^2in[0,1)$,
potrai dire che $|w|^2(1-|z|^2)in[0,1]$ e dunque,ricordando infine che $|z|^2in[0,1)$,
con una nota proprietà delle disuguaglianze in $RR$ otterrai la (*) e pertanto quanto inizialmente richiesto.
Saluti dal web.
P.S.Vera ed interessante la tua ultima equivalenza logica:
come la dimostri?
Io son ricorso alle rispettive forme algebriche di z e w,ed alla buona,sana,vecchia unione di carta,penna e calamaio,
ma ho la sensazione possa esserci sotto qualcosa di più profondo anche delle disuguaglianze triangolari sui moduli..
"theras":
potrai dire che $|w|^2(1-|z|^2)in[0,1]$ e dunque,ricordando infine che $|z|^2in[0,1)$,
con una nota proprietà delle disuguaglianze in $RR$ otterrai la (*) e pertanto quanto inizialmente richiesto.
Scusate l'intromissione, ma non ho capito come fai a dire che se $|w|^2(1-|z|^2)in[0,1]$ e $|z|^2in[0,1)$ anche la loro somma è in $[0,1)$
EDIT: come non detto, mi son risposto da solo
. $a+b(1-a) < a + (1-a) = 1$
Così mi sembra più "pulita":
$[|z|^2+|w|^2<1+|w|^2|z|^2] rarr [|z|^2(1-|w|^2)-(1-|w|^2)<0] rarr [(1-|w|^2)(|z|^2-1)<0]$
$[|z|^2+|w|^2<1+|w|^2|z|^2] rarr [|z|^2(1-|w|^2)-(1-|w|^2)<0] rarr [(1-|w|^2)(|z|^2-1)<0]$
"Kyl":
[quote="theras"]
potrai dire che $|w|^2(1-|z|^2)in[0,1]$ e dunque,ricordando infine che $|z|^2in[0,1)$,
con una nota proprietà delle disuguaglianze in $RR$ otterrai la (*) e pertanto quanto inizialmente richiesto.
Scusate l'intromissione, ma non ho capito come fai a dire che se $|w|^2(1-|z|^2)in[0,1]$ e $|z|^2in[0,1)$ anche la loro somma è in $[0,1)$
[/quote]Ciao!
Ho saltato qualche passaggetto,in effetti,ma solo per rispettare lo spirito del forum evidenziato nel regolamento;
faccio un pò di cerchiobottismo,allora,e cerco di chiarire il passaggio senza concluderlo:
non ho detto che da questo segue che la loro somma stà in $RR$
(se l'ho detto mi dichiaro incapace d'intendere e di volere,
e son curioso di vedere se cogli il riferimento storico-matematica d'un triste passato neanche troppo lontano!)
ma solo che dalle ultime due disuguaglianze puoi dedurre la (*),
perchè dall'ultime di esse segue $|z|^2-1in[-1,0) e poi magari porta da qualche parte far la legittima somma membro a membro che dicevi tu..
Saluti dal web.
"theras":
Ciao!
Ho saltato qualche passaggetto,in effetti,ma solo per rispettare lo spirito del forum evidenziato nel regolamento;
faccio un pò di cerchiobottismo,allora,e cerco di chiarire il passaggio senza concluderlo:
non ho detto che da questo segue che la loro somma stà in $RR$
(se l'ho detto mi dichiaro incapace d'intendere e di volere,
e son curioso di vedere se cogli il riferimento storico-matematica d'un triste passato neanche troppo lontano!)
ma solo che dalle ultime due disuguaglianze puoi dedurre la (*),
perchè dall'ultime di esse segue $|z|^2-1in[-1,0)$ e poi magari porta da qualche parte far la legittima somma membro a membro che dicevi tu..
Saluti dal web.
"speculor":.
Così mi sembra più "pulita":
$[|z|^2+|w|^2<1+|w|^2|z|^2] rarr [|z|^2(1-|w|^2)-(1-|w|^2)<0] rarr [(1-|w|^2)(|z|^2-1)<0]$
Basta Speculor:
la contemporaneità mi perseguita,ed a questo punto è diventata un mio problema!
Comunque mi sembra che tu abbia fatto all'altezza dell'ultima c.n.s. del quesito iniziale quel che io ho fatto alla fine:
saluti dal web.
"Kyl":.
Scusate l'intromissione, ma non ho capito come fai a dire che se $|w|^2(1-|z|^2)in[0,1]$ e $|z|^2in[0,1)$ anche la loro somma è in $[0,1)$
EDIT: come non detto, mi son risposto da solo
Bella pensata:
unendola a quelle che avevo fatto fino all'altezza in cui sei intervenuto tu,
avremmo una dimostrazione,più asciutta ed elegante,di quanto richiesto,
e potremmo risparmiarci le considerazioni finali di Speculor o mie..
Saluti dal web.
"theras":
...e potremmo risparmiarci le considerazioni finali di Speculor...
Senza entrare nel merito, non mi sembra molto elegante.
Ciao Speculor,ci si rivede!
Il fatto è che i nostri procedimenti erano in fondo equivalenti,
mentre quella di Kyl era un'idea che non m'aveva neanche lontanamente attraversato la mente e,
essendomi piaciuta forse pure per questo,
mi sembrava giusto omaggiarla;
d'altronde questo mi sembra un buon contesto per far crescere e render merito alle idee,
piccole o grandi che esse siano:
su questo siamo d'accordo,
dato che sulle questioni di gusto estetico è sempre meglio fermarsi subito dopo aver dichiarato ciascuno il proprio?
Saluti dal web.
Il fatto è che i nostri procedimenti erano in fondo equivalenti,
mentre quella di Kyl era un'idea che non m'aveva neanche lontanamente attraversato la mente e,
essendomi piaciuta forse pure per questo,
mi sembrava giusto omaggiarla;
d'altronde questo mi sembra un buon contesto per far crescere e render merito alle idee,
piccole o grandi che esse siano:
su questo siamo d'accordo,
dato che sulle questioni di gusto estetico è sempre meglio fermarsi subito dopo aver dichiarato ciascuno il proprio?
Saluti dal web.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo