Modulo e fase di funzioni razionali complesse
Ciao a tutti,
ho un dubbio riguardante l'analisi complessa di cui purtroppo non sono molto ferrato.
Vorrei sapere se quando devo calcolare il modulo e la fase di una funzione razionale a variabile complessa valgono le seguenti regole:
Modulo:
[tex]\Bigr \vert \frac{\prod_{i=1}^m (s-z_i)}{\prod_{i=1}^n (s-p_i)} \Bigr \vert = \frac{\prod_{i=1}^m |(s-z_i)|}{\prod_{i=1}^n |(s-p_i)|}[/tex]
Fase:
[tex]arg(\frac{\prod_{i=1}^m (s-z_i)}{\prod_{i=1}^n (s-p_i)}) = arg(s-z_1) + arg(s-z_2) + \dots + arg(s-z_m) - arg(s-p_1) - arg(s-p_2) - \dots - arg(s-p_n)[/tex]
Con ovviamente [tex]s, p_i, z_i[/tex] appartenenti all'insieme dei numeri complessi.
Sono quasi sicuro che il calcolo della fase sia corretto (confermate?). Per quanto riguarda il modulo so che quando si utilizza la forma polare il prodotto del modulo è uguale al modulo del prodotto.
Però ogni termine della produttoria non è detto che sia in forma polare ma, in generale, potrebbe essere composta di parte reale e parte immaginaria.
Ho provato con degli esempi e invece sembra che anche la formula riguardante il modulo sia corretta. Me lo confermate? Altrimenti mi potreste indicare un controesempio?
Grazie
ho un dubbio riguardante l'analisi complessa di cui purtroppo non sono molto ferrato.
Vorrei sapere se quando devo calcolare il modulo e la fase di una funzione razionale a variabile complessa valgono le seguenti regole:
Modulo:
[tex]\Bigr \vert \frac{\prod_{i=1}^m (s-z_i)}{\prod_{i=1}^n (s-p_i)} \Bigr \vert = \frac{\prod_{i=1}^m |(s-z_i)|}{\prod_{i=1}^n |(s-p_i)|}[/tex]
Fase:
[tex]arg(\frac{\prod_{i=1}^m (s-z_i)}{\prod_{i=1}^n (s-p_i)}) = arg(s-z_1) + arg(s-z_2) + \dots + arg(s-z_m) - arg(s-p_1) - arg(s-p_2) - \dots - arg(s-p_n)[/tex]
Con ovviamente [tex]s, p_i, z_i[/tex] appartenenti all'insieme dei numeri complessi.
Sono quasi sicuro che il calcolo della fase sia corretto (confermate?). Per quanto riguarda il modulo so che quando si utilizza la forma polare il prodotto del modulo è uguale al modulo del prodotto.
Però ogni termine della produttoria non è detto che sia in forma polare ma, in generale, potrebbe essere composta di parte reale e parte immaginaria.
Ho provato con degli esempi e invece sembra che anche la formula riguardante il modulo sia corretta. Me lo confermate? Altrimenti mi potreste indicare un controesempio?
Grazie
Risposte
La formula per il modulo è corretta perché $|z_1z_2|=|z_1||z_2|$ e se $z\ne 0, \, \|\frac{1}{z_1}\|=\frac 1{|z_1|}$. Per la seconda formula, ti devi assicurare che tutto sia nel intervallo $\[0,2\pi\[$.
E se non è nell'intervallo [tex][0, 2\pi][/tex]?
Io sapevo che la fase si puo' calcolarla tramite l'operatore [tex]arg[/tex] per qualsiasi intervallo.
Infatti quando si disegna il diagramma di Bode della fase si utilizza ampiamente quell'operatore, ma il grafico della fase non e' sempre compreso tra [tex][0, 2\pi][/tex], anzi il piu' delle volte e' compreso tra valori piu' ampi (e.g. [tex][-2\pi, \pi][/tex]).
Io sapevo che la fase si puo' calcolarla tramite l'operatore [tex]arg[/tex] per qualsiasi intervallo.
Infatti quando si disegna il diagramma di Bode della fase si utilizza ampiamente quell'operatore, ma il grafico della fase non e' sempre compreso tra [tex][0, 2\pi][/tex], anzi il piu' delle volte e' compreso tra valori piu' ampi (e.g. [tex][-2\pi, \pi][/tex]).
Nessuno ha qualche idea riguardo al mio ragionamento? Se è corretto o sbagliato?
Grazie
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