Modulo e fase della differenza

[Drugotulo90]

Come da titolo mi servirebbe sapere se immediatamente si ricava dalla forma esponenziale il modulo e la fase della differenza di due numeri complessi, senza passare in forma algebrica, cioè conoscendo quindi già il modulo e la fase di ciascuno.

$A*e^(ix)-B*e^(iy) $

e poi nel caso specifico in cui uno dei due è reale

$ 1-A*e^(ix) $

grazie

[pilloeffe]

Ciao Drugotulo90,

Sia

$z_1 = x_1 + iy_1 = \rho_1 e^{i\theta_1} = \rho_1(cos\theta_1 + i sin\theta_1) $

ove $ \rho_1 = sqrt{x_1^2 + y_1^2} $, $\theta_1 = arctan(frac{y_1}{x_1}) $ e

$z_2 = x_2 + iy_2 = \rho_2 e^{i\theta_2} = \rho_2(cos\theta_2 + i sin\theta_2)$

ove $ \rho_2 = sqrt{x_2^2 + y_2^2} $, $\theta_2 = arctan(frac{y_2}{x_2}) $

Ovviamente $z_1 + z_2 = x_1 + x_2+i(y_1 + y_2) $ per cui si ha:

$|z_1 + z_2| = sqrt{(x_1 + x_2)^2 + (y_1 + y_2)^2} = |\rho_1(cos\theta_1 + i sin\theta_1) + \rho_2(cos\theta_2 + i sin\theta_2)| = $
$ = |(\rho_1 cos\theta_1 + \rho_2 cos\theta_2) + i(\rho_1 sin\theta_1 + \rho_2 sin\theta_2)| = $
$ = sqrt{(\rho_1 cos\theta_1 + \rho_2 cos\theta_2)^2 + (\rho_1 sin\theta_1 + \rho_2 sin\theta_2)^2} $

$arg(z_1 + z_2) = arg(x_1+x_2+i(y_1+y_2)) = arctan(frac{y_1 + y_2}{x_1 + x_2}) = arctan(frac{\rho_1 sin\theta_1 + \rho_2 sin\theta_2}{\rho_1 cos\theta_1 + \rho_2 cos\theta_2}) $

Il discorso si può generalizzare alla somma algebrica di $n$ numeri complessi.

[Drugotulo90]

ok questo non c'è dubbio, ma avendo già entrambi i numeri in forma $A*e^(ix)$, non c'è un modo per ricavare direttamente la fase della differenza?

[pilloeffe]

"Drugotulo90":ok questo non c'è dubbio, ma avendo già entrambi i numeri in forma $A e^{ix} $, non c'è un modo per ricavare direttamente la fase della differenza

Perdonami, ma non capisco cos'altro ti serva...
Si ha:

$A e^(ix) - B e^(iy) = A e^(ix) + B e^{i(y + \pi} $

Per cui nel tuo caso avrai

$\rho_1 = A $
$\theta_1 = x $
$\rho_2 = B $
$\theta_2 = y + \pi $

Sostituisci quanto sopra nelle ultime due formule che ti ho scritto nel mio post precedente ed il gioco è fatto...