Modulo e fase
ciao ragazzi
applicando la trasformata discreta di fourier ad un'immagine ottengo il grafico della fase e del modulo...
qualcuno sa dirmi praticamente che si intende per modulo e fase???
come si interpretano quei due grafici???
ho cercato su milioni di siti ma nn ci capisco nulla...
grazie a tutti quelli ke voranno aiutarmi
applicando la trasformata discreta di fourier ad un'immagine ottengo il grafico della fase e del modulo...
qualcuno sa dirmi praticamente che si intende per modulo e fase???
come si interpretano quei due grafici???
ho cercato su milioni di siti ma nn ci capisco nulla...
grazie a tutti quelli ke voranno aiutarmi
Risposte
Una funzione complessa si scrive come $f = h + i g$ (per brevità ometto gli argomenti), dove $h$ e $g$ sono due funzioni reali. Quindi il modulo di $f$ è $\sqrt{h^2 + g^2}$, mentre la fase (espressa nell'intervallo $[-\pi, pi)$) vale
$"arctg"(\frac{h}{g})$ se $h > 0$
$"arctg"(\frac{h}{g}) + \pi$ se $h < 0$ e $g > 0$
$"arctg"(\frac{h}{g}) - \pi$ se $h < 0$ e $g < 0$
$0$ se $g = 0$ e $h > 0$
$-\pi$ se $g = 0$ e $h < 0$
$\frac{\pi}{2}$ se $h = 0$ e $g > 0$
$-\frac{\pi}{2}$ se $h = 0$ e $g < 0$
non è definita se $h = g = 0$
$"arctg"(\frac{h}{g})$ se $h > 0$
$"arctg"(\frac{h}{g}) + \pi$ se $h < 0$ e $g > 0$
$"arctg"(\frac{h}{g}) - \pi$ se $h < 0$ e $g < 0$
$0$ se $g = 0$ e $h > 0$
$-\pi$ se $g = 0$ e $h < 0$
$\frac{\pi}{2}$ se $h = 0$ e $g > 0$
$-\frac{\pi}{2}$ se $h = 0$ e $g < 0$
non è definita se $h = g = 0$
Ciao Agata.
La trasformata di Fourier restituisce una funzione olomorfa, il cui dominio è quello dei numeri complessi. Essa, pertanto, ha un modulo (che corrisponde alla radice quadrata della somma dei quadrati della parte reale e della parte immaginaria) ed una fase (che è invece calcolabile come arcotangente del rapporto tra parte immaginaria e la parte reale).
Non so se ciò ti può essere utile.
Possiamo, comunque, fare un esempio.
Se consideri la funzione a gradino:
$u(t)=0$ per $t<0$
$u(t)=1$ per $t>=0$
e ne calcoli la trasformata di Fourier, ottieni:
$F(omega)=int_-oo^(+oo)u(t)e^(-jomegat)dt=int_0^(+oo)1e^(-jomegat)dt=lim_{x->oo}[-e^(-jomegat)/(jomega)]_0^(x)=0+1/(jomega)=-j/omega$
Si tratta di una funzione puramente immaginaria il cui spettro delle ampiezze decresce in modo inversamente proporzionale alla pulsazione $omega$, mentre la fase si mantiene a $+-90°$
Ciao.
La trasformata di Fourier restituisce una funzione olomorfa, il cui dominio è quello dei numeri complessi. Essa, pertanto, ha un modulo (che corrisponde alla radice quadrata della somma dei quadrati della parte reale e della parte immaginaria) ed una fase (che è invece calcolabile come arcotangente del rapporto tra parte immaginaria e la parte reale).
Non so se ciò ti può essere utile.
Possiamo, comunque, fare un esempio.
Se consideri la funzione a gradino:
$u(t)=0$ per $t<0$
$u(t)=1$ per $t>=0$
e ne calcoli la trasformata di Fourier, ottieni:
$F(omega)=int_-oo^(+oo)u(t)e^(-jomegat)dt=int_0^(+oo)1e^(-jomegat)dt=lim_{x->oo}[-e^(-jomegat)/(jomega)]_0^(x)=0+1/(jomega)=-j/omega$
Si tratta di una funzione puramente immaginaria il cui spettro delle ampiezze decresce in modo inversamente proporzionale alla pulsazione $omega$, mentre la fase si mantiene a $+-90°$
Ciao.
grazie milleeeee... 
"alfredo":
La trasformata di Fourier restituisce una funzione olomorfa, il cui dominio è quello dei numeri complessi.
Solo una precisazione su questa affermazione che mi sembra un po' ambigua.
La trasformata di Fourier in $L^1$ è una funzione complessa, sì, ma di variabile reale. Del resto è chiaro: il dominio delle frequenze deve essere per forza reale.
Tutto ok il resto.
Giusta precisazione.
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