Modulo e argomento di un numero complesso

[carlovalori]

$ z= (1+i)/((sqrt(3) -i)^9 $

Salve a tutti, mi trovo impantanato in questo esercizio. Solitamente quando non trovo potenze none sviluppo le potenze e razionalizzo in modo da avere Re(z) e Im(z) in questo caso mi risulta complicato. Un altro metodo è quello di scrivere $w=1+i$
e $u=sqrt(3)-i$ e sapendo che $|w|/|u/$ i ricavo il modulo. Vi sarò riconoscente se mi aiuterete, grazie per il vostro tempo.

[StellaMartensitica]

$1+i=sqrt(2)*[cos(pi/4)+isen(pi/4)]$

$sqrt(3)-i=2*[cos(-pi/6)+isen(-pi/6)]$

... continua tu.

[carlovalori]

ciao grazie per la risposta, questo procedimento l'ho provato ma senza risultati

$ sqrt(3)-i=2^9*[cos(9*-pi/6)+isen(9*-pi/6)] $

Facendo cosi però averei un $(sqrt(2))/(2^9)$ possibile?

[pilloeffe]

Ciao carlovalori,

Proverei con la forma polare:

$1 + i = \sqrt{2}e^{i\pi/4} $

$sqrt{3} - i = 2 e^{- i\pi/6}$

[carlovalori]

$ sqrt{3} - i = 2^9 e^{- 9*i\pi/6} $

poi come procedo? doveri mettere a confronto i due moduli e argomenti?

[StellaMartensitica]

$ z= (1+i)/((sqrt(3) -i)^9 $

$ sqrt(3)-i=2*[cos(-pi/6)+isen(-pi/6)] $

$ 1+i=sqrt(2)*[cos(pi/4)+isen(pi/4)] $


$z={sqrt(2)*[cos(pi/4)+isen(pi/4)] }/{2*[cos(-pi/6)+isen(-pi/6)] }^9={sqrt(2)*[cos(pi/4)+i*sen(pi/4)]}/{2^9*[cos(-3/2 pi)+i*sen(-3/2 pi)]}=$

$=sqrt(2)/(2^9)*[cos(pi/4+3/2pi)+i*sen(pi/4+3/2 pi)]=sqrt(2)/(2^9)*[1/sqrt(2)-i/sqrt(2)]=1/512-i/512$

con la forma con gli esponenziali è uguale. Forse ti viene meglio perché praticamente usi le proprietà delle potenze.