Modulo e argomento complessi
Buonasera, devo calcolare il modulo e l'argomento del numero complesso $z=((1+i)/(1-i))^43$. Ho calcolato separatamente il modulo e l'argomento del numeratore e del denominatore ottenendo $|(1+i)|=\sqrt{2}$, $Arg(1+i)= \pi/4$, $|(1-i)|=\sqrt{2}$, $Arg(1-i)= -\pi/4$. Dato che si tratta di un rapporto, il modulo è uguale al rapporto dei moduli $(\sqrt{2})^43/(\sqrt{2})^43=1$ mentre l'argomento è uguale alla differenza degli argomenti $(43\pi/4)-(-43\pi/4)=43\pi/2$.
Cosa sbaglio?
Questo esercizio dovrebbe essere svolto in meno di 2/3 minuti in sede d'esame quindi se avete qualche suggerimento/trucchetto più veloce è ben accetto.
Cosa sbaglio?
Questo esercizio dovrebbe essere svolto in meno di 2/3 minuti in sede d'esame quindi se avete qualche suggerimento/trucchetto più veloce è ben accetto.
Risposte
$(1+i)/(1-i)=(1+i)/(1-i)*(1+i)/(1+i)=(1+i)^2/[(1-i)(1+i)]=(1+i^2+2i)/(1-i^2)=(2i)/2=i$
Comunque i tuoi risultati sono giusti …
Comunque i tuoi risultati sono giusti …
"axpgn":
Comunque i tuoi risultati sono giusti …
L'argomento dovrebbe essere $(3\pi)/2$ mentre a me risulta $(43\pi)/2$. Cosa mi sfugge?
$\frac{43\pi}{2}=\frac{40\pi}{2}+\frac{3\pi}{2}=20\pi+\frac{3\pi}{2}$, numeri complessi che differiscono di argomenti multipli di $2\pi$ sono uguali.
Ciao Lorenzo_99,
Nell'ottica di quanto hai scritto e tenendo conto del suggerimento che ti ha già dato Alex, potrebbe farti comodo osservare che $\AA n $ si ha:
$ i^{4n} = 1 $
$ i^{4n + 1} = i $
$ i^{4n + 2} = - 1 $
$ i^{4n + 3} = - i $
Il tuo caso è l'ultimo con $n = 10 $.
"Lorenzo_99":
Questo esercizio dovrebbe essere svolto in meno di 2/3 minuti in sede d'esame quindi se avete qualche suggerimento/trucchetto più veloce è ben accetto.
Nell'ottica di quanto hai scritto e tenendo conto del suggerimento che ti ha già dato Alex, potrebbe farti comodo osservare che $\AA n $ si ha:
$ i^{4n} = 1 $
$ i^{4n + 1} = i $
$ i^{4n + 2} = - 1 $
$ i^{4n + 3} = - i $
Il tuo caso è l'ultimo con $n = 10 $.
"pilloeffe":
potrebbe farti comodo osservare che $\AA n $ si ha:
$ i^{4n} = 1 $
$ i^{4n + 1} = i $
$ i^{4n + 2} = - 1 $
$ i^{4n + 3} = - i $
Il tuo caso è l'ultimo con $n = 10 $.
Avevo già presente questa "tabella" ma non credevo si potesse sfruttare così. Indipendentemente da quello che c'è fra parentesi conta l'esponente a cui è elevato il tutto? Oppure ci sono specifiche condizioni?
Scusami ma …
$i^1=i$
$i^2=-1$
$i^3=i^2*i=-1*i=-i$
$i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1$
$i^5=i^4*i=1*i=i$
ecc …
$i^1=i$
$i^2=-1$
$i^3=i^2*i=-1*i=-i$
$i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1$
$i^5=i^4*i=1*i=i$
ecc …
"pilloeffe":
Nell'ottica di quanto hai scritto e tenendo conto del suggerimento che ti ha già dato Alex, potrebbe farti comodo osservare che $\AA n $ si ha:
$ i^{4n} = 1 $
$ i^{4n + 1} = i $
$ i^{4n + 2} = - 1 $
$ i^{4n + 3} = - i $
Il tuo caso è l'ultimo con $n = 10 $.
Come non detto, ho interpretato male quello che voleva dire il messaggio.
"Mephlip":
$\frac{43\pi}{2}=\frac{40\pi}{2}+\frac{3\pi}{2}=20\pi+\frac{3\pi}{2}$, numeri complessi che differiscono di argomenti multipli di $2\pi$ sono uguali.
E questo messaggio, lo hai interpretato? Questo messaggio è il più importante di tutti.
"dissonance":
[quote="Mephlip"]$\frac{43\pi}{2}=\frac{40\pi}{2}+\frac{3\pi}{2}=20\pi+\frac{3\pi}{2}$, numeri complessi che differiscono di argomenti multipli di $2\pi$ sono uguali.
E questo messaggio, lo hai interpretato? Questo messaggio è il più importante di tutti.[/quote]
Sì, erano cose che già sapevo ma non riuscivo a vederle. Altrimenti avrei chiesto.
In particolare, dal messaggio di Mephlip si evince che tu NON hai sbagliato nel tuo post originale. Certo, in un esame se avessi lasciato il risultato come \(e^{i\frac{43}{2}\pi}\) forse ti avrebbero potuto togliere qualcosa, ma tecnicamente è una risposta tanto corretta come lo è \(e^{i\frac{3}{2}\pi}\). Infatti,
\[
e^{i\frac{43}{2}\pi}=e^{i\frac{3}{2}\pi}.\]
\[
e^{i\frac{43}{2}\pi}=e^{i\frac{3}{2}\pi}.\]
"dissonance":
In particolare, dal messaggio di Mephlip si evince che tu NON hai sbagliato nel tuo post originale. Certo, in un esame se avessi lasciato il risultato come \(e^{i\frac{43}{2}\pi}\) forse ti avrebbero potuto togliere qualcosa, ma tecnicamente è una risposta tanto corretta come lo è \(e^{i\frac{3}{2}\pi}\). Infatti,
\[
e^{i\frac{43}{2}\pi}=e^{i\frac{3}{2}\pi}.\]
In sede d'esame se non avessi trovato un modo per ricondurmi a \(e^{i\frac{3}{2}\pi}\) avrei sbagliato essendo un test a crocette (in cui lo svolgimento per giungere al risultato non conta e non viene neanche richiesto).
Però essendoci "solo" alcune (poche) alternative magari ti sarebbe tornata alla mente questa equivalenza e magari avresti risposto correttamente 
"axpgn":
Però essendoci "solo" alcune (poche) alternative magari ti sarebbe tornata alla mente questa equivalenza e magari avresti risposto correttamente
E invece no, perchè fra le 5 alternative, c'è anche N.A (nessuna delle altre) e avrei barrato quella nella fretta (visto che abbiamo poco tempo)
La speranza è comunque l'ultima a morire
Eh, no ... devi sfruttare i vantaggi delle domande con risposte chiuse 
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